考点：二次函数综合题
专题：压轴题
分析：（1）只需求出A、B、C三点的坐标，然后运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；（2）可分两种情况（①以C为直角顶点，②以A为直角顶点）讨论，然后根据点P的纵、横坐标之间的关系建立等量关系，就可求出点P的坐标；（3）连接OD，易得四边形OFDE是矩形，则OD=EF，根据垂线段最短可得当OD⊥AC时，OD（即EF）最短，然后只需求出点D的纵坐标，就可得到点P的纵坐标，就可求出点P的坐标．
解答：解：（1）由B（-1，0）可知OB=1，∵OA=OC=4OB，∴OA=OC=4，OB=1，∴C（0，4），A（4，0）．设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，则16a+4b+c=0a-b+c=0c=4，解得：a=-1b=3c=4，则抛物线的解析式是y=-x2+3x+4； （2）存在． ①当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1，过点P1作y轴的垂线，垂足是M，M，如图1．∵∠A CP1=90°，∴∠MCP1+∠ACO=90°．∵∠ACO+∠OAC=90°，∴∠MCP1=∠OAC．∵OA=OC，∴∠MCP1=∠OAC=45°，∴∠MCP1=∠MP1C，∴MC=MP1，设P（m，-m2+3m+4），则m=-m2+3m+4-4，解得：m1=0（舍去），m2=2．∴m=2，此时-m2+3m+4=6，∴P1P的坐标是（2，6）．②当点A为直角顶点时，过A作AP2⊥AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F，如图2．∴P2N∥x轴，由∠CAO=45°得∠OAP2 =45°，∴∠FP2N=45°，AO=OF．∴P2N=NF，设P2（n，-n2+3n+4），则-n+4=-（-n2+3n+4），解得：n1=-2，n2=4（舍去），∴n=-2，此时-n2+3n+4=-6，∴P2的坐标是（-2，-6）．综上所述：P的坐标是（2，6）或（-2，-6）；（3）当EF最短时，点P的坐标是（3+172，2）或（3-172，2）．解题过程如下：连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．根据垂线段最短可得：当OD⊥AC时，OD（即EF）最短．由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4．根据等腰三角形的性质可得：D是AC的中点．又∵DF∥OC，∴△AFD∽△AOC，∴DFCO=ADAC=12∴DF=12OC=2，∴点D的纵坐标是2，∴点P的纵坐标也是2，解-x2+3x+4=2得，x1=3+172，x2=3-172，∴点P的坐标为（3+172，2）或（3-172，2）．
点评：本题主要考查了用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线上点的坐标特征、等腰三角形的性质、矩形的性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，有一定的综合性，运用分类讨论的思想是解决第（2）小题的关键，根据矩形的性质将EF转化为OD，然后利用垂线段最短是解决第（3）小题的关键．
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科目：初中数学
已知线段AB=10cm，BC=4cm，A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别是AB、BC的中点，则MN=cm．
科目：初中数学
如图，已知点O是直线AB上的一点，∠BOC=40°，OD、OE分别是∠BOC、∠AOC的角平分线．（1）写出图中与∠EOC互余的角；（2）求∠AOE的度数．
科目：初中数学
一个角度是18度15分等于度．
科目：初中数学
如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
科目：初中数学
已知|m|=|2m-3|，则m=．
科目：初中数学
已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出（　　）个．
A、四个B、五个C、六个D、七个
科目：初中数学
解方程（1）-=2-（2）+=1．
科目：初中数学
在有理数的原有运算法则中，我们定义新运算“@”如下：a@b=ab÷b2，根据这个新规定可知2x@（-3x）=．当前位置：
＞＞＞如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交与点A（-1，0）、B（3，0）两点..
如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交与点A（-1，0）、B（3，0）两点，抛物线交y轴于点C（0，3），点D为抛物线的顶点，直线y=x-1交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q。
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少？（3）设E为线段OC上的三等分点，连接EP，EQ，若EP=EQ，求点P的坐标。
题型：解答题难度：偏难来源：浙江省中考真题
解：（1）由题意，抛物线交y轴于点C（0，3），故设抛物线的解析式为，把A（-1，0）、B（3，0）代入，得：，解得，∴抛物线的解析式为，∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；（2）由题意，得P（x，x-1），Q（x，-x2+2x+3），∴线段PQ=,∴当时，线段PQ最长为;（3）∵E为线段OC上的三等分点，OC=3，∴E（0，1），或E（0，2），∵EP=EQ，PQ与y轴平行，∴2·OE=，当OE=1时，x1=0，x2=3，点P坐标为（0，-1）或（3，2）当OE=2时，x1=1，x2=2，点P坐标为（1，0）或（2，1），综上所述，点P的坐标为（0，-1）或（3，2）或（1，0）或（2，1）。
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交与点A（-1，0）、B（3，0）两点..”主要考查你对&&求二次函数的解析式及二次函数的应用，二次函数的图像&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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求二次函数的解析式及二次函数的应用二次函数的图像
求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 二次函数的应用：（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h&0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数的其他表达形式：①牛顿插值公式:f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。双根式y=a(x-x1)*(x-x2)若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。③三点式已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)与X轴交点的情况当△=b2-4ac&0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。Δ=b2-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。
2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。②典型例题二：如果a&0，那么当 时，y有最小值且y最小=；如果a&0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向：a&0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。 二次函数图像性质：轴对称：二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。a,b同号，对称轴在y轴左侧b=0,对称轴是y轴a,b异号，对称轴在y轴右侧顶点：二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。开口：二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a&0时，二次函数图像向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。决定对称轴位置的因素：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a&0,与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a&0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号当a&0,与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a&0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0 ），对称轴在y轴右。事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。决定与y轴交点的因素:常数项c决定二次函数图像与y轴交点。二次函数图像与y轴交于（0,C）注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。与x轴交点个数：a&0;k&0或a&0;k&0时，二次函数图像与x轴有2个交点。k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。a&0;k&0或a&0,k&0时，二次函数图像与X轴无交点。当a&0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x&h范围内是减函数，在x&h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y&k当a&0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x&h范围内是增函数，在x&h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y&k当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数。
发现相似题
与“如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交与点A（-1，0）、B（3，0）两点..”考查相似的试题有：
134192122440499278211791129303232294（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），由抛物线的对称性知B点坐标为（3，0），依题意得，a-b+c=09a+3b+c=0c=-3，解得a=33b=-233c=-3，所以，二次函数的解析式为y=33x2-233x-3；（2）∵点D的横坐标为m，∴点D的纵坐标为33m2-233m-3，设直线BC的解析式为y=kx+b′（k≠0，k、b′是常数），依题意得，3k+b′=0b′=-3，解得k=33b′=-3，所以，直线BC的解析式为y=33x-3，∴点E的坐标为（m，33m-3），∴DE的长度n=33m-3-（33m2-233m-3）=33m2-3m，∵点D在直线BC下方，∴0＜m＜3；（3）①AB是平行四边形的边时，∵A（-1，0）、B（3，0），∴AB=3-（-1）=4，若点N在y轴的左边，则点N的横坐标为-4，所以，y=33×（-4）2-233×（-4）-3=73，此时，点N的坐标为（-4，73），若点N在y轴的右边，则点N的横坐标为4，所以，y=33×42-233×4-3=533，此时，点N的坐标为（4，533）；②AB是对角线时，∵点M在y轴上，抛物线对称轴为直线x=1，∴点N的横坐标为2，∴y=33×22-233×2-3=-3，此时，点N的坐标为（2，-3）；综上所述，点N的坐标为（-4，73）或（4，533）或（2，-3）．
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科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
如图，二次函数y=ax2-4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（-4，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
已知函数y1=x，y2=x2+bx+c，α，β为方程y1-y2=0的两个根，点M（t，T）在函数y2的图象上．（Ⅰ）若α=13，β=12，求函数y2的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数y1与y2的图象的两个交点为A，B，当△ABM的面积为1123时，求t的值；（Ⅲ）若0＜α＜β＜1，当0＜t＜1时，试确定T，α，β三者之间的大小关系，并说明理由．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．（1）求A、B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条非直径的弦，且AB∥CD，连接AD和BC，（1）AD和BC相等吗？为什么？（2）如果AB=2AD=4，且A、B、C、D四点在同一抛物线上，请在图中建立适当的直角坐标系，求出该抛物线的解析式．（3）在（2）中所求抛物线上是否存在点P，使得S△PAB=12S四边形ABCD？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．
科目：初中数学
来源：不详
题型：单选题
如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（　　）A．-23B．-23C．-2D．-12
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：（1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图1）．若∠ACB=90°，设AC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米2，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图2）．若∠ABC=120°，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小；（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
每年六七月份我市荔枝大量上市，今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是0.7元/千克，假设不计其他费用．（1）水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本？（2）在销售过程中，水果商发现每天荔枝的销售量m（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足关系：m=-10x+120，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
已知函数y=x2-kx+3图象的顶点坐标为C，并与x轴相交于A、B，且AB=4，（1）求实数k的值；（2）若P是上述抛物线上的一个动点（除点C外），求使S△ABP=S△ABC成立的点P的坐标．如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线ax2+bx+c经过ABC三点,已知点A(-3,0)B(0,3)C(1,0)(1)求此抛物线解析式（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与AB重合）,过点P作x轴的垂线,垂足为点F,交直线AB_百度作业帮
如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线ax2+bx+c经过ABC三点,已知点A(-3,0)B(0,3)C(1,0)(1)求此抛物线解析式（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与AB重合）,过点P作x轴的垂线,垂足为点F,交直线AB
如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线ax2+bx+c经过ABC三点,已知点A(-3,0)B(0,3)C(1,0)(1)求此抛物线解析式（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与AB重合）,过点P作x轴的垂线,垂足为点F,交直线AB于点E,PD垂直于AB于点D①动点P在什么位置时,三角形PDE的周长最大,求出此时P点的坐标②连接PA,以AP为边作图示一侧的正方形APMN,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变,当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时,求出对应的P点的坐标（结果保留根号）
这是2013年广安中考题过程实在麻烦如图如果您认可我的回答,请点击“采纳为满意答案”,祝学习进步!
扫描下载二维码分析：（1）首先由直线MC的解析式能求得C点的坐标；连接BC，在Rt△BOC中，已知OC的长，根据∠BCO的余弦值能求得斜边BC的长，再由勾股定理即可求出OB的值，则B点坐标可得；再由待定系数法可求出该抛物线的解析式．（2）分别过点P、Q作x轴的垂线PJ、QK，那么由∠PNQ=90°、PN=NQ可证得Rt△PJN≌Rt△NKQ，可得到的条件有：PJ=NK、JN=KQ，首先根据抛物线的解析式设出P点的坐标，再由上述等长线段表达出点Q的坐标，而点Q落在直线MC上，将该点坐标代入直线MC的解析式中即可确定点P的坐标．（3）由（2）的解答过程知：直线MC的斜率为1，因此∠IHO=∠GFO=45°，可得：OI=OH；而四边形DHIE是等腰梯形，那么IE=HD；设E点的坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），那么点D的坐标可表达为（-b，-a），这两点都在抛物线的图象上，通过联立方程组即可求出E、D两点的坐标；直线MC可由“左加右减、上加下减”的平移规律得到直线DE的函数表达式，再代入点D或点E的坐标即可求出m的值．解答：解：（1）由直线MC：y=kx-3，得：C（0，-3）；连接BC（如图1），在Rt△BOC中，OC=3，则：BC=OCcos∠BCO=3310=10，OB=BC2-OC2=10-9=1；∴B（1，0）；将B（1，0）、C（0，-3）代入y=a（x+1）2+c（a＞0）中，得：a(1+1)2+c=0a(0+1)2+c=-3，解得a=1c=-4∴抛物线的函数表达式：y=（x+1）2-4=x2+2x-3．（2）分别过点P、Q作PJ⊥x轴于J，QK⊥x轴于K；（如图2）∵PQ是由PN绕点N逆时针旋转90°所得，∴∠PNQ=90°，PN=NQ；∵∠PNJ=∠NQK=90°-∠QNKPN=NQ∠PJN=∠NKQ=90°，∴△PNJ≌△NQK，∴PJ=NK，QK=JN；设P（x，x2+2x-3）（-3＜x＜0），则PJ=NK=-x2-2x+3，OJ=-x；∴QK=JN=OJ-ON=-x-1，OK=NK-ON=PJ-ON=-x2-2x+3-1=-x2-2x+2，则 Q（-x2-2x+2，x+1）；由M（-1，-4）易求得直线MC：y=x-3，有：-x2-2x+2-3=x+1，化简，得：x2+3x+2=0解得：x1=-1，x2=-2∴P1（-1，-4），P2（-2，-3）．（3）由题意知，直线DE：y=x+m-3；∵kMC=kDE=1，∴tan∠EFO=1，即∠EFO=45°；∵四边形DHIE是等腰梯形，∴HI∥DE，IE=HD；在Rt△IHO中，∠IHO=∠EFO=45°，则OI=OH；设E（a，b）（a＞0，b＞0），则：OH=OI=b，HD=IE=a，即 D（-b，-a）；由于抛物线经过D、E两点，则有：a2+2a-3=bb2-2b-3=-a，解得a=17-12b=17+12∴E（17-12，17+12），代入直线DE的解析式，有：17+12=17-12+m-3，解得：m=4；即：四边形DHIE为等腰梯形时，m=4．点评：此题主要考查了函数解析式的确定、函数图象的平移规律、解直角三角形、全等三角形的判定和性质以及等腰梯形的性质等综合知识；在后面两个小题中，先设一点的坐标，然后通过线段间的等量关系表达出另一点的坐标是基本的解题思路，难度较大．
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科目：初中数学
23、在数学上，为了确定平面上点的位置，我们常用下面的方法：如图甲，在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，通常一条画成水平，叫x轴，另一条画成铅垂，叫y轴，这样，我们就说在平面上建立了一个平面直角坐标系，这是由法国数学家和哲学家笛卡尔创立的，这样我们就能确定平面上点的位置，例如，要确定点M的位置，只要作MP⊥x轴，MP⊥y轴，设垂足N，P在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），（1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；（2）请写出平移后点A′的坐标，记作．
科目：初中数学
在平面直角坐标系中，将一块腰长为cm的等腰直角三角板ABC如图放置，BC边与x轴重合，∠ACB=90°，直角顶点C的坐标为（-3，0）．（1）点A的坐标为2）（-3，），点B的坐为2，0)；（2）求以原点O为顶点且过点A的抛物线的解析式；（3）现三角板ABC以1cm/s的速度沿x轴正方向平移，则平移的时间为多少秒时，三角板的边所在直线与半径为2cm的⊙O相切？
科目：初中数学
来源：同步轻松练习　八年级　数学　上
学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人(如图)
(1)按照这种规定填写下表：
(2)根据表中的数据，将s作为纵坐标，n作为横坐标，在如图所示的平面直角坐标系中找出相应各点．
(3)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数图象上，求出该函数的解析式，并利用你探求的结果，求出当n＝10时，s的值．
科目：初中数学
来源：学年北京海淀区九年级第一学期期中测评数学试卷（解析版）
题型：解答题
阅读下面的材料：
小明在研究中心对称问题时发现：
如图1，当点为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点，点再绕着点旋转180°得到点，这时点与点重合.
如图2，当点、为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点,小明发现P、两点关于点中心对称.
（1）请在图2中画出点、，
小明在证明P、两点关于点中心对称时，除了说明P、、三点共线之外，还需证明；
（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，当、、为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点. 继续如此操作若干次得到点，则点的坐标为（），点的坐为．
科目：初中数学
题型：解答题
在数学上，为了确定平面上点的位置，我们常用下面的方法：如图甲，在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，通常一条画成水平，叫x轴，另一条画成铅垂，叫y轴，这样，我们就说在平面上建立了一个平面直角坐标系，这是由法国数学家和哲学家笛卡尔创立的，这样我们就能确定平面上点的位置，例如，要确定点M的位置，只要作MP⊥x轴，MP⊥y轴，设垂足N，P在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），（1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；（2）请写出平移后点A′的坐标，记作______．