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如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE．F为AE上一点，且∠BFE=∠C。
（1）求证：△ABF∽△EAD； （2）若AB=4，BE=3，求AE的长；（3）在（1）、（2）的条件下，若AD=3，求BF的长。
题型：解答题难度：中档来源：江苏期中题
解：（1）∵AD∥BC，∴∠C+∠ADE=180°∵∠BFE=∠C，∴∠AFB=∠EDA∵AB∥DC，∴∠BAE=∠AED∴△ABF∽△EAD。（2）AE=5；（3）由（1）得：得BF=。
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE．F为A..”主要考查你对&&相似三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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相似三角形的性质勾股定理相似三角形的判定
相似三角形性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方(7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项(8)c/d=a/b 等同于ad=bc.(9)不必是在同一平面内的三角形里①相似三角形对应角相等，对应边成比例.②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.③相似三角形周长的比等于相似比
定理推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。勾股定理:直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。勾股定理只适用于直角三角形，应用于解决直角三角形中的线段求值问题。定理作用⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。勾股定理的应用：数学从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数。勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，芳一丈，薛生其中央，出水一尺，引薛赴岸，适与岸齐，问水深几何？答曰："一十二尺"。生活勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积，从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕，也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点：第一，屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6；第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度；第三，屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕，根据勾股定理，很快就能得出屏幕的宽为1.5m，高为1.1m。2、2005年珠峰高度复测行动。测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法，就是把高程引到珠峰脚下，当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程，配合水准测量、三角测量、导线测量等方式，获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算，最终得到珠峰高程的有效数据。通俗来说，就是分三步走：第一步，先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点，先把这些点的精确高程确定下来；第二步，在珠峰峰顶架起觇标，运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理，推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差；第三步，获得的高程数据要进行重力、大气等多方面的改正计算，最终确定珠峰高程测量的有效数据。相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形。例如图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角B'A'C'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'相似三角形的判定：1.基本判定定理(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。)(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。2.直角三角形判定定理(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。3.一定相似：（1）.两个全等的三角形（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1）（2）.两个等腰三角形（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。） （3）.两个等边三角形(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)　（4）.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。相似三角形判定方法：证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。一、（预备定理）平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）二、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。三、如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。& 四、如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似五（定义）对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形六、两三角形三边对应垂直，则两三角形相似。七、两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。八、由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc易失误比值是一个具体的数字如：AB/EF=2而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：1
发现相似题
与“如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE．F为A..”考查相似的试题有：
212790184468185099429219158542194911& 平行四边形的性质知识点 & “理论探究：已知平行四边形ABCD的面积为...”习题详情
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理论探究：已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上一点．（1）如图1：当点M与B重合时，S△DCM=50；（2）如图2，当点M与B与A均不重合时，S△DCM=50；（3）如图3，当点M在AB（或BA）的延长线上时，S△DCM=50；拓展推广：如图4，平行四边形ABCD的面积为a，E、F分别为DC、BC延长线上两点，连接DF、AF、AE、BE，求出图中阴影部分的面积，并说明理由．实践应用：如图5是我市某广场的一平行四边形绿地ABCD，PQ、MN分别平行于DC、AD，它们相交于点O，其中S四边形AMOP=300m2，S四边形MBQO=400m2，S四边形NCQO=700m2，现进行绿地改造，在绿地内部作一个三角形区域MQD（连接DM、QD、QM，图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形区域的面积．
本题难度：一般
题型：填空题&|&来源：2013-涉县模拟
分析与解答
习题“理论探究：已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上一点．（1）如图1：当点M与B重合时，S△DCM=____；（2）如图2，当点M与B与A均不重合时，S△DCM=____；（3）如图3，当点M在...”的分析与解答如下所示：
（1）（2）（3）根据等底等高的三角形的面积等于平行四边形的面积的一半进行解答；拓展推广：先求出两阴影部分的面积等于平行四边形ABCD的面积的一半，然后相加即可得解；实践应用：先根据等高平行四边形的面积比等于底边的比求出平行四边形POND的面积，然后根据题目信息求出三块空白部分的面积，再利用平行四边形ABCD的面积减去空白部分的面积即可．
解：（1）设点M到CD的距离等于h，则平行四边形ABCD的面积=CDoh=100，S△DCM=12CDoh=12×100=50；（2）与（1）同理可得S△DCM=12×100=50；（3）与（1）同理可得S△DCM=12×100=50；拓展推广：根据（1）的结论，S△ABE=12S?ABCD=12a，S△ADF=12S?ABCD=12a，∴阴影部分的面积=12a+12a=a；实践应用：设平行四边形POND的面积为x，则x300=700400，解得x=525，根据前面信息，S△AMD=12×（525+300）=412.5，S△MBQ=12×400=200，S△CDQ=12×（525+700）=612.5，∴三角形区域的面积=300+400+700+525-412.5-200-612.5=0m2．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，读懂题意，根据题目信息找出平行四边形的面积与三角形的面积的关系是解题的关键．
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理论探究：已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上一点．（1）如图1：当点M与B重合时，S△DCM=____；（2）如图2，当点M与B与A均不重合时，S△DCM=____；（3）如图3...
错误类型：
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经过分析，习题“理论探究：已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上一点．（1）如图1：当点M与B重合时，S△DCM=____；（2）如图2，当点M与B与A均不重合时，S△DCM=____；（3）如图3，当点M在...”主要考察你对“平行四边形的性质”
等考点的理解。
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平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
与“理论探究：已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上一点．（1）如图1：当点M与B重合时，S△DCM=____；（2）如图2，当点M与B与A均不重合时，S△DCM=____；（3）如图3，当点M在...”相似的题目：
如图，在?ABCD的纸片中，AC⊥AB，AC与BD相交于点O，将△ABC沿对角线AC翻转180°，得到△AB′C．（1）以A，C，D，B′为顶点的四边形是矩形吗&&&&（请填“是”、“不是”或“不能确定”）；（2）若四边形ABCD的面积S=12cm2，求翻转后纸片重叠部分的面积，即S△ACE=&&&&cm2．
（1）如图1，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE．求证：①△ABF≌△DCE；②四边形ABCD是矩形．（2）如图2，已知△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．①请用尺规作图的方法，过点D作DM⊥BE，垂足为M；（不写作法，保留作图痕迹）②求证：BM=EM．&&&&
平行四边形具有而一般四边形不具有的性质是&&&&外角和等于360°对角线互相平分内角和为360°有两条对角线
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发表于： 11:36:13
& 来源：网络
已知,如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB,E、F分别是线段BA,AB的延长线上的点,且AE=BF=AB,M,N,G分别是CE与AD，DF与BC，CE与DF的交点，求证：EC⊥FD(急求）回答(1)&∵在平行四边形ABCD中,AD=2AB,E\F分别是线段BA\AB的延长线上的点，且AE=BF=AB∴BC=BE，∠ECD=∠BEC，∠ADC+∠BCD=180°∴∠BCE=∠BEC∴∠ECD=∠BEC=∠BCE同理∠EFD=∠ADF=∠CDF∴∠ADC+∠BCD=2∠FDC+2∠ECD=180°∴∠FDC+∠ECD=90°∴在△CDG中，∠DGC=90°∴EC垂直FD。请点击“采纳为答案”当前分类官方群:15已知:如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB,且AE=BF=AB.E、A、B、F在同一条直线上，EC交AD于M，FD交BC于N.已知:如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB,且AE=BF=AB.E、A、B、F在同一条直线上，EC交AD于M，FD交BC于N.求证：四边形CDMN是菱形。问题补充： 【最佳答案】∵DC∥AB，AD=2AB,且AE=BF=AB∴△AEM与△MDC相等∴AM=MD即M为AD和EC中点，同理得N为DF和BC中点∴在△DAF中，MN平行且相等AB和DC∴四边形CDMN四边均相等即四边形CDMN是菱形
如图，已知在平行四边形ABCD中，AD=2AB，E、F在直线AB的延长线上，且AE=AB=BF，证明CE⊥DF要详细步骤问题补充： 【最佳答案】以为平行四边形ABCD所以AB=DC,又AB=AE,所以AE=DC显然三角形AEM和三角形CDM是全等的，所以M为AD的中点又AD=2AB，所以CD=DM所以CDMN是棱形，棱形对角线是垂直的所以CE和DF是垂直的参考资料：看下初中的数学课本 【其他答案】AE=AB，AD∥BC,∴AM∥=BC/2∥=AD/2=MD,同理CN∥=AD/2∥=MD,AD=2AB，∴MD=AB=CD,∴平行四边形CDMN是菱形，∴CM⊥DN,即CE⊥DF。 很容易就可证明△AME≌△DMC所以M为AD的中点同样可证N为BC的中点连接MN则MNCD为菱形所以对角线相互垂直，得证 AE=AB,AM//BC,则AM=1/2BC=1/2AD=AB=AE,∠CEF=1/2∠DAB;同理，BN=BF,∠DFE=½∠CBE;AD//BC,∠DAB+∠CBE=180°，则∠CEF+∠DFE=90°，CE⊥DF
如图，已知在平行四边形ABCD中，AD=2AB，E，F在直线AB上，且AE=AB=BF,说明CE垂直于DF问题补充：图在这里 【最佳答案】证明：设DF与AB相交于点G∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD∵AB=BF∴BF=CD∵BF∥CD则△BFG≌△ADG∴BG=CG∵BC=AD=2AB∴BF=BG∴∠F=∠BGF∴∠ABC=2∠F同理∠BAD=2∠E∵∠BAD+∠ABC=180°∴∠E+∠F=90°∴CE⊥DF 【其他答案】如图，已知在平行四边形ABCD中，AD=2AB，E、F在直线AD、BC上，且AE=AB=BF,说明CE垂直于DF。∵AD=2AB，AE=AB=BF∴EF=FC=CD=DE四边形CDEF是菱形因此，CE⊥DF
已知:如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB,E\F分别是线段BA\AB的延长线上的点,且AE=BF=AB.求证:EC垂直FD已知:如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB,E\F分别是线段BA\AB的延长线上的点,且AE=BF=AB.求证:EC垂直FD.好的话再加分 【最佳答案】设EC交AD于M，FD交BC于NDC//AB，AE=AB=DC△MDC≡△MAEMA=MD,MA=1/2AD=AB=AE∠AEM=∠AME∠DAF=∠AEM+∠AME=2∠AEM同理∠CBA=2∠AFD∠DAF+∠CBA=2∠AEM+2∠AFD=180∠AEM+∠AFD=90EC垂直FD 【其他答案】证明：自己画图，按照题意，设FD与BC的交点为O，EC与AD的交点为G，连接OG。设AB的长为a。则AD=2a（只要证明四边形OGDC为棱形，就可以说明对角线OD垂直CG，即FD垂直CE）AE=BF=AB，所以AF=AD，角F=角FDABC//AD，角FOB=角FDA所以角F=角FDA=角FOB，那么FB=BO=a则OC=a。很容易证明三角形AGE全等于三角形CGD,则AG=GD，又因为AD=2a。所以GD=a在四边形OGDC中，OC=CD=GD=OG=a，所以四边形OGDC为棱形，那么对角线垂直，所以FD垂直CE
已知：平行四边形ABCD，AD=2AB，延长AB到F，使BF=AB，延长BA到E，使AE=AB，求证：CE⊥DF 【最佳答案】证明：设EC、DF分别交AD、BC于H、G.连HG.AE=ABAD∥BC∴EH=HCAE=ABAD∥BC∴EH=HC(过三角形一边的中点且平行于另一边的直线平分第三边)∴AH=BC/2同理BG=AD/2又AD=BC∴AH=BG=HD=GC∴四边形GCHD是平行四边形AD=2ABAB=DC∴DC=DH∴四边形GCHD是菱形∴CH⊥DG即CE⊥DF 【其他答案】证明：连接CE、DF∵BF＝AB∴AF＝AB+BF＝2AB∵AD＝2AB∴∠AFD＝∠ADF∵AB∥CD∴∠CDF＝∠AFD∴∠CDF＝∠ADF∴∠CDF＝∠ADC/2∵AE＝AB∴BE＝AB+AE＝2AB∵BC＝AD∴BE＝BC∴∠BEC＝∠BCE∵AB∥CD∴∠DCE＝∠BEC∴∠DCE＝∠BCE∴∠DCE＝∠BCD/2∵AD∥BC∴∠ADC+∠BCD＝180∴∠CDF+∠DCE＝∠ADC/2+∠BCD/2＝（∠ADC+∠BCD）/2＝90∴CE⊥DF 以EF为边做一个菱形出来，菱形对角线相互垂直
已知，如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB,延长AB到F,使BF=AB,延长BA到E，使AE已知，如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB,延长AB到F,使BF=AB,延长BA到E，使AE=AB,连接CE,DF,交AD,BC于G,H.求证：CE垂直于DF 4-2609:34【最佳答案】设：CE、DF相交于M∵平行四边形ABCD∴AB∥CDAD=BC又∵AD=2AB，且AE=AB∴BC=BE∴∠E=∠ECB∵AB∥CD∴∠E=∠ECD∴∠ECD=∠ECB=½∠BCD同样道理：∠FDC=∠FDA=½∠ADC∵平行四边形ABCD中AD∥BC∴∠ADC＋∠BCD=180º∴∠ECD＋∠FDC=½﹙∠BCD＋∠ADC﹚=90º即∠MCD＋∠MDC=90º∴∠DMC=90º∴CE⊥DF跪求采纳，日子不好过啊 4-2609:41
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＞＞＞如图，平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，记AB=a，AD=b，试用含有..
如图，平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，记AB=a，AD=b，试用含有a，b的式子表示向量AE和DF．
题型：解答题难度：中档来源：不详
∵四边形ABCD是平行四边形，点E是DC的中点，AB=a，AD=b，∴AB∥CD，DE=12DC，AB=DC，AD=BC，∴△DEF∽△BFA，DE=12DC=12a，DC=AB=a，BC=AD=b，∴DEAB=DFBF=12，∴DF=13BD，∵DB=DC-BC=a-b，∴AE=AD+DE=b+12a，DF=13DB=13(a-b)．
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向量的定义：既有方向又有大小的量叫做向量。 向量的表示：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作。 向量的分类和构成因素：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。（AB是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个→）有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。②平行向量、共线向量：两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量）③零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作0。（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆）零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都平行且垂直。向量a、b平行，记作a//b，零向量与任意向量平行，即0//a。④单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量。特殊规律:1.三角形ABC内一点O，向量OA·向量OB=向量OB·向量OC=向量OC·向量OA，则点O是三角形的垂心。2.若O是三角形ABC的外心,点M满足向量OA+向量OB+向量OC=向量OM，则M是三角形ABC的垂心。3若O和三角形ABC共面，且满足向量OA+向量OB+向量OC=零向量，则O是三角形ABC的重心。三点共线　三点A,B,C共线推出OA=μOB+aOC(μ+a=1)向量加法运算：已知向量a、b，在平面上任意取一点A，作 =a，=b，再作向量，则向量叫做a与b的和，记做a+b，即a+b==。 ，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。（首尾相连，连接首尾，指向终点）& 同样，作AB=a,且AD=BC,再作平行于AD的BC=b，连接DC，因为AD∥BC，且AD=BC，所以四边形ABCD为平行四边形，AC叫做a与b的和，表示为：AC=a+b.这种方法叫做向量加法的平行四边形法则。（共起点，对角连）。已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。向量的加法满足所有的加法运算定律。向量的减法运算： ，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则。（共起点，连终点，方向指向被减向量） 与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。（1）a+(－a)=(－a)+a=0（2）a－b=a+(－b)。数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ & 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ & 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa=0。设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a= λ(μa)（2）(λ + μ)a= λa+ μa（3）λ(a±b) = λa± λb（4）(－λ)a=－(λa) = λ(－a)。向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。坐标:已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2,y1+y2）a-b=（x1-x2，y1-y2）这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。由此可以得到：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。根据上面的结论又可得若a=(x,y),则λa=(λx,λy)这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
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