理科数列解答题_百度文库
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理科数列解答题|20―​―01​山​东​高​考​理​科​数​列​解​答
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关于等比数列的一道题。
则数列{an}的公比为，若S1,2S2,3S3成等差数列等比数列{an}的前项和为Sn
可以把详细过程告诉我么，本人有点笨…
提问者采纳
(1-q)=a1+3a1*(1-q^3)/(1-q)则的4a1*(1-q^2)&#47,S2=a1*(1-q^2)/(1-q)得S1=a1,S3=a1*(1-q^3)&#47,2S2;(1-q)q=1&#47,3S3成等差数列，除去);3即得q=1/(1-q)得3q^3-4q^2+q=0解得q=0(除去)，则2*2S2=S1+3S3又因Sn=a1*(1-q^n)&#47，q=1&#47，q=1(验算不符;3因为S1
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3S3成等差数列：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)整理;(1-q)2a1*(1-q^2)&#47S1，则2S2=S1+3S3根据等比数列求和公式：2*(1-q^2)=1-q+3*(1-q^3)3q^3-2q^2+q-2=0因式分解得,2S2;(1-q)=a1*(1-q^1)/(1-q)+3a1*(1-q^3)&#47
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出门在外也不愁挖掘公式推导过程的显性价值以_等比数列求和公式为例_百度文库
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挖掘公式推导过程的显性价值以_等比数列求和公式为例|等​比​数​列​求​和​公​式
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你可能喜欢数列求和解题探究
数列求和问题是重要的内容之一,也是高考的热点之一,从近几年的高考题来看,一般有一道选择题(或填空题)和一道解答题,而解答题多是数列的求和问题.教材重点介绍等差数列、等比数列前n项的求和公式,对非等差数列、等比数列的求和介绍不多,而对于难度较高的题型往往不是等差数列、等比数列的求和,却是高阶数列、递推数列,或者要将数列转化后求和,因此对数列的求和研究有重要的意义.　　一、叠加法与叠乘法　　例1.(2003年全国高考试题)已知数列an满足a1=1,an=3n+1+an-1(n≥2).　　求:(1)a2,a3;(2)求Sn.　　解:(1)易知a2=4,a3=13;　　(2)在an=3n-1+an-1中,an-an-1=3n-1令n=2,3,…n得出n-1个等式,将这些等式叠加得　　an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+…+3+1=,　　Sn=++…=(3+32+…+3n)-=-.　　评注:本例为递推数列,将an化为(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1;若an≠0,an可化为???a1,这是叠乘法,是求数列通项的一种方法,读者可参考2002年全国高考试题填空题.　　二、错位相减法与倒序相加法　　例2.求数列a,2a2,3a3…nan的前n项和(a≠0).　　解:当a=1时,Sn=1+2+3+…n=　　当a≠1时,Sn=a+2a2+3a3+…nan,　　aSn=a2+2a3+3a4+…+nan+1　　两式相减得:(1-a)Sn=a+a2+a3+…+an-nan+1=-nan+1,　　∴Sn=　　例3.求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°的值.　　解:设S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289,　　又∵S=sin289°+sin288°+sin287°+…+sin21°　　两式相加得:2S=89,S=.　　评注:例2是错位相加法,例3是倒序相加法,分别在等差数列求和与等比数列求和的证明中有介绍,是常用的求和方法.一般地,当an是等差数列,bn是等比数列时,积数列anbn的和可用错位相减法.　　三、裂项法　　利用差分求和的方法叫做裂项法,是数列求和的常用方法,例如: 　　n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)],=-.一般地,n(n+1)(n+2)…(n+k)=[n(n+1)(n+2)…(n+k)(n+k+1)-(n-1)n?(n+1)…(n+k)],对于数列n(n+1)(n+2)(n+3)中,an=n(n+1)(n+2)(n+3)=[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)-(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)],各项相加抵消得Sn=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4).　　例4.(广东省2006年3+证书试题)已知数列an是等差数列,且a1=3,a1+a2+a3=15.(1)求数列an的通项;(2)求数列的前n项和Sn.　　解:(1)易得an=2n+1;　　(2)==(-),将数列的前n项相加可得Sn=.　　评注:类似题型在广东省2008年3+证书高考解答题中再次出现.　　例5.求数列an=n2的前n项和Sn.　　解:因为an=n2=n(n+1-1)=n(n+1)-n　　所以Sn=[1×2+2×3+…n(n-1)]-(1+2+…+n)=n(n+1)(2n+7).　　例6.求数列an=n3=n(n+1)-n的前n项和Sn.　　解:因为an=n3=n(n+1)(n+2)-3n2-2n=n(n+1)(n+2)-3n(n+1)+n,所以Sn=n(n+1)(n+2)(n+3)-n(n+1)(n+2)+=n2(n+1)2.　　 评注:对于an=nm,可展开成an=n(n+1)…(n+m)-τ(n),再将τ(n)展开成n(n+1)+…(n+m-1)-τ2(n),……,直到可用裂项法为止.另外,例5、6运用了数列求和的分组求和法,就是将数列分解成多个数列求和.　　 四、朱世杰恒等式　　++…+=,这个公式叫做朱世杰恒等式①.　　证明:由=+得=-,令 l=0,1,2,…,m,可得出m+1个等式,将这些等式一起相加,可得++…+=.　　例7.求和:Sn=1×2×3×4+2×3×4×5+…+n(n+1)(n+2)(n+3)　　解:∵n(n+1)(n+2)(n+3)==　　4!=4!　　∴Sn=1×2×3×4+2×3×4×5+…+n(n+1)(n+2)(n+3).　　 =4!+4!+4!+…+4!　　 =4!+4!+4!+…+4!　　 =4!　　 =(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)　　评注:朱世杰恒等式是排列组合中的一个性质,把它应用到数列求和,解题简洁易懂,体现出数学的巧妙美.　　上述介绍的解题方法是数列的求和方法,还有其他的方法,如待定系数法、换元法等常用解题方法也会用到数列求和之中。为了更全面地掌握数列求和的解题方法,对于数列求和的常用公式应熟悉,例如:利用an=S1(n-1)Sn-Sn-1(n≥2)转化为求数列Sn,在裂项法介绍的数列中总结出数列n(n+1)(n+2)…(n+k)的前n项和Sn=n(n+1)(n+2)…(n+k)(n+k+1),数列的前n项和Sn=[-]。上述介绍的数列基本都是高阶等差数列和递推数列,为了更全面、更深刻地了解数列的特征,理解数列求和的共性,掌握数列求和一般方法,下面介绍高阶等差数列求和公式和运用线性递归数列的特征方程求数列的和.　　五、高阶等差数列求和公式　　若an为k阶等差数列,则an=a1+Δa1+Δka1,它的前n项和为Sn,则Sn是k+1阶等差数列,Sn=a1+Δa1+Δka1.②　　例8.已知an=n(n+1)(n+2),求它的前n项和为S.　　解一:由于an是n的三次多项式,an为三阶等差数列,依次求出a1=Δa1=6,Δ2a1=18, Δ3a1=6,代入公式有Sn=(n+1)(n+2)(n+3).　　解二:Sn是四阶等差数列,令Sn=c0+c1+c2+c3+c4,将n=1,2,3,4,5分别代入上式,并实际计算出S1,S2,S3,S4,S5即得出关于c0,c1,c2,c3,c4的线性方程组,解出c0,c1,c2,c3,c4,即可求出Sn.　　六、线性递归数列特征方程　　若数列an自第k项以后的任一项都是其前n项的性线组合,即　　an+k=p1an+k-1+p2an+k-2+…+pkan,(Ⅰ)　　其中n∈N+,p1,p2…,pk是常数,且pk≠0,则称an为k阶线性递归数列,(Ⅰ)叫做递归方程. 　　xk=p1xk-1+p2xk-2+…+pkan,(Ⅱ)　　叫做(Ⅰ)的特征方程.若(Ⅱ)有k个相异的根x1,x2,…,xk,则(Ⅰ)所确定的递归数列的通项公式为an=c1x1n+c2x2n+…+ckxkn其中c1,c2,…,ck是线性方程组c1x1+c2x2+…+ckxk=a1,c1x12+c2x22+…+ckxk2=a2,…c1x1k+c2x2k+…+ckxkk=ak.的唯一一组解.③　　例9.已知a1=1,an-1=2an+1(n∈N+),求Sn.　　解:由已知条件得an+1-an=an+1,an-an-1=an-1+1,将两等式相减得递归方程an+1=3an-2an-1,对应特征方程是x2=3x-2,解方程得x1=1,x2=2故通项公式an=c1x1n+c2x2n=c1+c2×2n,因为a1=c1+c2×2a1=c1+c2×22,所以c1=-1,c2=1,从而an=-1+2n, Sn=2n+1-n-2.　　 评注:不要误将an+1=2an+1看作是递归方程.运用线性递归数列特征方程解题的前提是该数列是线性递归数列,且能找出递归方程.另解:由an+1=2an+1得an+1+1=2(an+1),令bn=a1+1,b1=an+1=2,则bn是首项为2,公比为2的等比数列,bn=2n,即an=-1+2n,可得Sn.类似题形可参考2005年高考题重庆卷文科22题与2008年高考广东卷文科21题.　　 小结:　　本文介绍了数列求和的基本方法与技巧,对数列的特征进行分析归纳。虽然数列求和题型多变,解题难度较大,但是万变不离其宗,只要熟悉数列求和题型特点,掌握基本解题方法,善于分类归纳,找出共性,就能提高解题的能力.
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数列求和的方法 -毕业论文
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