《最强大脑》上周玮的3道数学题，应该怎么算？ | 科学人 | 果壳网 科技有意思
《最强大脑》上周玮的3道数学题，应该怎么算？
周玮是被骗子利用的吗？被方舟子质疑的周玮，真是靠记忆速算的吗？
正常人如何徒手开平方？周玮在《最强大脑》上的3道数学题到底有多难？
周玮在《最强大脑》上的3道数学题到底有多难？普通人有没有可能不借助任何工具来计算呢？本文想说明的是，其实普通人借助已经得到公认的数学方法和自己的努力，也可以完成很复杂的计算。
本文作者:antares
周玮在《最强大脑》上速算的3道数学题，换成是你这样的普通人，要怎么算才能更快一点呢？图片来源：《最强大脑》
被诊断为学者症候群的周玮，在《最强大脑》上速算了3道复杂的数学题，一时间成为焦点。有人惊叹，有人怀疑，感兴趣和看热闹的人们都想瞧瞧这里面的究竟。周玮到底是用什么方法算出结果的？是靠死记硬背还是靠独特的大脑？这个问题，恐怕只有他本人才能够确定了。（心理学家和脑科学家对他的解析，参见《》）
本文想说明的是，普通人没有功能非同一般的大脑，不能自创别人看不懂的数学方法，其实也可以借助已经得到公认的数学方法和自己的努力，完成很复杂的计算。（编辑注：本文包含大量指数格式，在手机客户端无法正常显示，请多多见谅。）
周玮速算的3道题。
最简单的题最需要心算能力
首先我们来看第一道题：
这道题看起来最简单，但恰恰是3道题中最需要心算能力的。乘方的速算可以有很多不同的方法，最笨蛋的就是直接心算。
直接心算这个方法很笨拙，先计算 62得到36，再计算 63 = 36×6 = 216，接着计算 64 = 216×6 = 1296，以此类推，直到计算出613为止。虽然笨，却直观。它更适合位数较少的幂计算，并且在幂底为个位数的时候，不断心算乘法对记忆存储数据要求较小。当幂底超过个位数时，这个方法就不太合适了。
因此，我们来介绍一个简单易上手的计算方法。
首先第一步，把 613 拆开计算
613 = ( (63)2)2×6
63是个口算级别的题，对数字敏感的人可以脱口而出216。于是题目接下来变为
(2162)2×6 =？
计算 2162 比计算 63 要稍微难一些，但也还算简单，利用 (a+b)2 =a2+2ab+b2 可以把这个计算简化。
2162 = (200+16)×(200+16) = ×2+256 = 46656
接下来是最困难的一步，是计算 466562，进入五位数乘法的范畴，如果完全不靠纸笔记录，那需要你具有一定的数字记忆与存储能力。
首先还是利用公式进行拆分，拆分的原则是拆分出的有效位数尽可能接近，比如把 46656 拆分成 4×104+6656 就不太合适，更好的拆分方式是 46×102+656。这样在之后的计算中会略微容易一些。
466562 = ()×() = 462××46×2×2
这步也很直接，这里分别展示一下每个部分的速算方式
462 = (45+1)×(45+1) = 452+90+1
注意，(10x+5)2有一个非常好用的速算公式，我们把这个式子拆开看一下：
(10x+5)2 = x2×102+10x×5×2+52 = (x2+x)×102+52 = 100x(x+1)+25
记住这个公式，对速算很有帮助，之后我们也会反复利用这个公式来进行计算。
452 = 4×(4+1)×100+25 = 2025
462= 2025+91 = 2116
第二部分的速算方法，是不断地在计算过程中拆出 10 的幂次数，具体过程如下（这并不是唯一的方法，也许你有更熟悉的方法来加快计算）：
656×46×2 = 656×92 = 656×(100-10+2) = +1312 = 12 =
最后计算6562，同样利用刚刚介绍的公式：
6562 = (650+6)2 = 6502+650×6×2+36 = (6×(6+1)×100+25)×100+ = 0+36 = 430336
得到这几部分的值之后，继续计算加法就可以得到：
466562 = +336 =
最后一步没什么很特别的方法，还是直接心算比较方便：
看起来过程很多很繁琐对不对，但是其实当中的奥义只有两条：
反复对复杂的数字进行以0结尾或者以5结尾的拆分；
利用各类公式来简化计算。
虽然方法好掌握，但你现在可能还达不到一下子就算出来 613 是多少的地步。利用这些方法，轻松计算出 65、66、67 问题不大。经过一段时间的训练，不说达到周玮的速度，超过大多数人的笔算速度与准确度并非难事。
需要注意的是，速算方法并没有最优一说，挑选自己记得住的与擅长的计算方式，才是最好的。
上述方法是计算精确值的，如果只是估计个大概，那又会简单得多。
lg(6) = lg(2)+lg(3) = 0.301+0.477 = 0.778
lg(6)×13 =
计算1010.1约等于1010 =
这个误差为 30%，不过数量级上是准确的。如果需要更加准确的估算，则是计算 1010.1 = 1010×100.1，假如你恰好记得 100.1 = 1.26 ，那最后的估算值就是 。误差一下子缩小为 3.5%，已经算比较准确的估算了。
如果你对对数不太熟悉的话，还有另一种估算法。首先，我们把 63近似为 200，然后重复上面的步骤：
(63)2=4 0000
((63)2)2=16
6×((63)2)2=96 ≈100
在需要计算数量级的时候，这个精度是够的。
在进行这种大数计算的时候，可以使用科学计数法的e代替末尾的一系列0。比如，最后一行可以读成 96e8≈1e10。事实上，这可以看作是对对数的一种应用，但是在脑子里计算的时候会简单很多。
如果对这个精度无法接受或想要确认误差的话，可以从误差来源判断：主要的误差来源于把 216 近似成 200 的时候带来了 +8% 的误差，然后这个 +8% 的误差被平方了两次，所以误差变成了 8%×4 = 32%。因此进行误差修正后，就会得到 1.32×1010 的结果。你大可以对最后一步，把 96 近似成 100 带来的 4% 误差，也纳入考虑，那样就会得到 1.28×1010 的结果。无论是哪种结果，和准确值的实际误差都是 2% 左右。
看似吓人的开高次方，其实没有那么可怕
再来看第二道题：
实际上，对于一个普通人，不使用计算器的情况下，完全以手动方式求一个很大数字开n次方根，并不需要高深的数学，只需要依靠加减乘除和一些简单的对数计算法则就可以。
依然以周玮的这道题为例，首先
6345数字太大，不妨近似一下：
根据 10&13.9&24，可以估算出lg(13.9）介于1到1.2之间。
所以 13.9 的 14 次方根的对数值，应该是比0.1小一些（实际上是在0.07-0.08左右）。于是， 的对数，就应该比1.1小一些。
如果利用之前写过的 100.1≈1.26，可以得到 & 101.1 ≈ 12.6。准确的值肯定小于这个数字。
另外一种做法是通过试乘法计算。由于这个题目给的数据范围，我们几乎一定可以把答案的范围限制在 10-13 左右。所以如果只需要一位精度，那么我们可以试着去估算 1.1，1.2，1.3 这三个数的 14 次方，并和给定值进行比较。如果需要更高位精度的话，这种做法就略显无力了。
至于节目中第3道题，也是类似。
首先将整个算式转化成对数，首先提出一个10，把式子变成：
这时需要估算lg(3.2)，即：
lg(3.2) = lg(32*0.1)=lg(32)+lg0.1=lg(2^5)+(-1) = lg(2)×5-1
于是，上面的这个式子就变为：
lg(2)×7+(lg(2)×5-1)/13+1 = 0..)/13+1 = 3.147
最后计算103.147 = 1000×100.147。后面这部分可以粗略估算为0.147是lg(2)的一半，所以最后的结果是 ，再乘以1000等于1400左右。
没有计算器，没有对数表，也没有超强的大脑，只要对于精确度要求不是很苛刻，徒手计算出一个巨大数字的次方根完全可能。并且，这样的方法不止一种。即便如此，想要快速报出答案，一些必要的练习还是免不了的。只可惜，现代数学研究几乎不需要这种速算能力了。
心算能力在现在这个设备与技术齐全的时代来说，更为主要的用处是对构造出的公式进行初步的估算和简单的合理性验证。如果需要更高的精度，使用计算机更简单。
最后讲一个小故事
两列火车相隔 200 公里，各以每小时 50 千米的速度相向而行。一只苍蝇从其中一列前端出发，以每小时 75 千米的速度，在两列车之间来来回回飞个不停，问：直到两车相撞，苍蝇飞过的总距离是多少?
这当然是一道级数求和的题。但它有另一个巧妙的解答：既然两车相隔200千米，每小时各行驶 50 千米，它们要过 2 小时才相撞。所以，苍蝇飞了2小时，因此它必定飞了150千米。你看，换个方法，万事大吉。
传说在一次晚宴上，一个年轻人碰到冯·诺依曼，也问了他这道题。冯·诺依曼沉吟几秒后回答：“哦，当然是150千米。”年轻人被小小震了一下，心想冯老师果然大牛，于是拍起了马屁。“啊，冯老师果然高明，一下就想到了时间乘以苍蝇速度的方法。”冯·诺依曼答道：“什么？我求了级数之和。”
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心理学硕士
46^2没必要再拆分成45+1，如果想做速算，100以内的平方和立方都是必须要背会的常识说白了就是把更多的基础运算过程变成长时记忆存储在大脑硬盘里从而空出更宝贵的工作记忆也就是缓存来执行较复杂的运算对于周玮的个案更宝贵的意义在于研究其速算时的大脑工作原理对比其与智力正常的经过训练的同等效率的速算高手脑区活动的差异从而更好地理解人脑的机制而不是以所谓的特异功能打假的旗号自作聪明地给出一些所谓的解题思路不是针对这篇文章只是在知乎和微博上看到很多自以为是的逗逼顺路感慨一下而已
翻译爱好者，MOOC学习者
最后看哭了……尼玛考试的时候一道级数题可以把我卡死在那……
真要避免“作弊”（且不说有技巧不等于作弊），那就搞大整数的素因子分解啊。
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全部评论(263)
最后才是正片来自
最后亮来自
果壳网主编，科学松鼠会成员
引用文章内容：传说在一次晚宴上，一个年轻人碰到冯·诺依曼，也问了他这道题。冯·诺依曼沉吟几秒后回答：“哦，当然是150千米。”年轻人被小小震了一下，心想冯老师果然大牛，于是拍起了马屁。“啊，冯老师果然高明，一下就想...冯大师。。
翻译爱好者，MOOC学习者
最后看哭了……尼玛考试的时候一道级数题可以把我卡死在那……
果壳网副主编
被最后的故事亮瞎。
空间信息与数字技术专业
最后的故事最亮。。。也可以是他之前听说过。。。
最后。。。来自
最后一道题曾经是一次寒假数学作业，我竟然没想出来简单的做法。。。
空间信息与数字技术专业
引用 的话：最后一题 也可以先求 ln(2^7) = 7ln 2 = 2.107 其它的差不多。。。 原评论我已经删除了如果已知 ln 2 = .301(好吧 约等于) 但是看被开方的数大约是 32e12 对 10 对数 就是 13.505 除以 13，就是 1.0391.039 + 2.107 = 3.146, 约 3.1510^3.15 = 1000*sqrt(2) = 1414...要求两位有效数字，就是 1.4e3以上纯扯淡，请勿当真，否则后果自负。
完全不知道文章说的是什么，简直是残害我的心灵
这孩子挺可惜的 出生的环境不好
第一题的解题思路和我一样！来自
果断瞎来自
蒼蠅那個是當年五年級的寒假作業題。。。
最后给冯老师跪了。。
乘到4个6我就必须用手划拉竖式了……拉低果壳平均智商啊哎
心理学硕士
46^2没必要再拆分成45+1，如果想做速算，100以内的平方和立方都是必须要背会的常识说白了就是把更多的基础运算过程变成长时记忆存储在大脑硬盘里从而空出更宝贵的工作记忆也就是缓存来执行较复杂的运算对于周玮的个案更宝贵的意义在于研究其速算时的大脑工作原理对比其与智力正常的经过训练的同等效率的速算高手脑区活动的差异从而更好地理解人脑的机制而不是以所谓的特异功能打假的旗号自作聪明地给出一些所谓的解题思路不是针对这篇文章只是在知乎和微博上看到很多自以为是的逗逼顺路感慨一下而已
数学考个位数字语文考个位数字英语考个位数字地理考个位数字历史考个位数字政治考个位数字物理考个位数字化学考个位数字反正各科都没超过十位数字的路过
眼科学博士
所以应该找一些不可『作弊』的题目，各种NP-hard的应该很多吧。比如挺大的矩阵求个逆啥的
眼科学博士
引用 的话：6^2没必要再拆分成45+1，如果想做速算，100以内的平方和立方都是必须要背会的常识说白了就是把更多的基础运算过程变成长时记忆存储在大脑硬盘里从而空出更宝贵的工作记忆也就是缓存来执行较复杂的运...不同算法的速算，也许对应的神经机制不同，作为测试的选题确实应该是使用证明为NP hard的问题。这样发SCI比较有说服力。还可以测试问题规模增长时，计算天才们所需要的时间消耗。从生物学角度证明或者证伪P=NP
弱弱的问一句，那用级数和该怎么求
真要避免“作弊”（且不说有技巧不等于作弊），那就搞大整数的素因子分解啊。
引用文章内容：log(6) = log(2)+log(3) = 0.301+0.477 = 0.77log(6)×13 = 0.77×13 = 0.11×91 =10.10.301+0.477更接近0.78而不是0.77，0.77*13应该等于10.01不过这两个error好像恰好抵消掉了，所以结果没有错的离谱。（学小学奥数的时候就已经把 7*11*13 = 1001 记得烂熟了...这可是与 37*3 = 111 齐名的式子啊...二者合体后还会有 3*7*11*13*37 = 111111）
所以 13.9 的 14 次方根的对数值，应该是比0.1小一些（实际上是在0.07-0.08左右）。于从这里开始就看不明白了，高中对数知识全忘记了求热心解答
引用 的话：0.301+0.477更接近0.78而不是0.77，0.77*13应该等于10.01不过这两个error好像恰好抵消掉了，所以结果没有错的离谱。（学小学奥数的时候就已经把 7*11*13...这里懒了。把0.778写成0.77……
建筑学专业，分形艺术小组管理员
没看过那个节目，开这么十几次方初中时干过
眼科学博士
对被试应用不同规模的NP问题，记录不同规模时的解答时间。比如N位整数的质因数分解，分别给出N=N1,N2,N3,N4....位数的正整数，请被试计算质因数分解，测量计算时间T=T1,T2,T3,T4...计算时间T包括，输入时间t_in，输出时间t_out，和计算时间t_c。其中输入时间t_in，输出时间t_out应当是和问题规模线性相关，而计算时间t_c另算。T=t_in+t_out+t_cT=k1*N+k2*N+f(N)T=k*N+f(N)描个图就知道P和NP了。当然可能只有极少数的大脑具有这样的可能。可以写科幻小说了。如果能够教会被试HASH的算法，也许可以有人脑矿机了！
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上个周六，给聪聪出了三道游戏性质的数学题：
第一题：船上有30只鸡，20只鸭，请问船长年龄多大？
这道题看上去有点搞笑，不过可不要小看了它，回答说船长50岁的孩子可是大有人在，聪聪的表现也不太好。
听完我出的题，聪聪觉得有点奇怪，可他又不想说自己不会做，就开始胡乱说出一些数字，什么数都有。我明白聪聪的意思，他是想碰运气：反正是1到100之间，说不定哪次就说对了。我说你少跟我来这一套，不管是什么数，你一定要说出个为什么，结果聪聪没词了。后来被我问急了，就反问道：“那我也给你出个问题。天上有200个太阳、100个月亮，请问银河系有多大？你能答出来吗？”
聪聪的话倒把我给说乐了，这时我才告诉他：并非所有的问题都有答案，如果不具备充分的条件，有些题是无解的。反过来说，无解也可以算是一种答案。
第二题：有一只青蛙做不出数学题，青蛙爸爸生气了，骂它是一只笨青蛙，把它扔到井里，成了井底之蛙。井深10米，这只青蛙开始慢慢地往上爬，一个白天爬3米，晚上休息时又滑下2米。请问这只青蛙要爬几天才能爬出来？
这道题很有趣，里面有一个小小的陷阱，一不小心就会钻进去。聪聪的表现还算不错，想了没多会儿就答对了。
第三题：猴子分桃，每猴分6个桃，还剩下13个桃，每猴分7个，还缺12个桃，问猴子有几只？桃子有多少个？
这道题给聪聪制造了不小的麻烦，他在纸上画了半天，就是理不出个头绪来，看来聪聪分析问题的方法还不太对头，需要辅导一下才行，不过眼看和段韧下棋的时间到了，就让他先把这题放一放，以后再说。
下完了棋，我带着聪聪到街旁的小公园里玩，公园里的花儿都开了，红的黄的粉的，非常漂亮。那天的天气也出奇地好，太阳晒得人暖暖的。聪聪好久没来了，兴奋地在园子里跑来跑去。
见聪聪玩得差不多了，我便叫聪聪过来：“还记得那道猴子分桃的数学题吗？咱们就用这道数学题来玩一个游戏。”听说数学题可以用来玩游戏，聪聪感到十分新鲜，屁颠屁颠地跑了过来。
公园里有许多散落的松球，我让聪聪捡来一些作“猴子”，再找些小石头作“桃子。”找齐之后，再让聪聪把松球排成一排，“猴子”的数量不好确定怎么办？那就抓几把土放在最后，我告诉聪聪：“里面藏着几只猴子。”
接下来，聪聪开始给猴子发“桃子”，每只猴子一个桃，发到最后的那堆土时，就随便扔上几个。第一轮发完，再发第二轮、第三轮......发完六轮之后，每只猴子前面都整整齐齐地摆放着6个“桃子”。
“下面开始发第七轮，先把剩下的13个桃发下去！”聪聪照办。
“不好！咱们分得好象不太公平哇，有的猴子多，有的猴子少，分配不公容易引发矛盾，它们非打起来不可！这样吧，不是还缺12个桃吗，咱借给它们。”说完，我数出12块小石头递给聪聪：“再把这些发下去，这下它们就不会有意见了。”
聪聪接过石子，刚要往下发，忽然又停了下来，他眨着眼睛想了想，说：“我知道有多少只猴子了，13+12=25，一共有25只猴子！”
哈哈，这小子终于开窍了。接下来就简单了，25X6+13=163，一共是163个桃子。
折腾这半天，就是想让聪聪明白一个大实话：把问题分析透了，答案也就出来了。
PS今早又问了聪聪一个问题:稀奇稀奇真稀奇,鸭群里面有一只鸡,从前数它排第八,从后数它排第七,请问鸭子有几只?
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