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已知抛物线y=ax2+bx+c （0＜2a＜b）的顶点为P （x0，y0），点A （1，yA）、B （0 ，yB）、C （-1，yC）在该抛物线上。（Ⅰ）当a=1 ，b=4 ，c=10时， ①求顶点P 的坐标； ②求的值； （Ⅱ）当y0 ≥0 恒成立时，求的最小值。
题型：解答题难度：偏难来源：中考真题
解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x2+4x+10，① ∵ ，∴ 抛物线的顶点坐标为P（-2，6）；②∵点在抛物线上，∴，∴；（Ⅱ）由0&2a&b，得，由题意，如图，过点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1，连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=yB-yC，CD=1，过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，ye），交x轴于点，则，于是，有，即，过点E作于点G，易得，有，即，∵ 点在抛物线，得，∴ ，化简，得，解得（x1=1舍去），∵恒成立，根据题意，有，则，即，∴ 的最小值为3。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA）、B..”主要考查你对&&二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，相似三角形的性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的图像二次函数的最大值和最小值相似三角形的性质
二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向：a&0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。 二次函数图像性质：轴对称：二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。a,b同号，对称轴在y轴左侧b=0,对称轴是y轴a,b异号，对称轴在y轴右侧顶点：二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。开口：二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a&0时，二次函数图像向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。决定对称轴位置的因素：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a&0,与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a&0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号当a&0,与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a&0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0 ），对称轴在y轴右。事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。决定与y轴交点的因素:常数项c决定二次函数图像与y轴交点。二次函数图像与y轴交于（0,C）注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。与x轴交点个数：a&0;k&0或a&0;k&0时，二次函数图像与x轴有2个交点。k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。a&0;k&0或a&0,k&0时，二次函数图像与X轴无交点。当a&0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x&h范围内是减函数，在x&h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y&k当a&0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x&h范围内是增函数，在x&h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y&k当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数。二次函数的最值：1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a&0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y最小值=；当a&0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y最大值=。 也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2 时，，当x=x1 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，，当x=x2时&。 相似三角形性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方(7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项(8)c/d=a/b 等同于ad=bc.(9)不必是在同一平面内的三角形里①相似三角形对应角相等，对应边成比例.②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.③相似三角形周长的比等于相似比
定理推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
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（2014潍坊)如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠O）与y轴交于点C(O，4)，与x轴交于点A和点B
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（2014潍坊)如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠O）与y轴交于点C(O，4)，与x轴交于点A和点B
作者：佚名
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更新时间： 23:51:49
（2014潍坊）（本小题满分13分） 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠O）与y轴交于点C(O，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（-2,0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E(1)求抛物线的解析式； (2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； (3)平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。 &
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　　网友评论：（只显示最新10条。评论内容只代表网友观点，与本站立场无关！）解：（1）∵抛物线过A（3，0），B（6，0），∴，解得：，∴所求抛物线的函数表达式是y=x2-x+2．（2）①∵当x=0时，y=2，∴点C的坐标为（0，2）．设直线BC的函数表达式是y=kx+b．则有，解得：．∴直线BC的函数表达式是y=-x+2．∵0＜x＜6，点P、Q的横坐标相同，∴PQ=yQ-yP=（-x+2）-（x2-x+2）=-x2+x=-（x-3）2+1∴当x=3时，线段PQ的长度取得最大值．最大值是1．②解：当∠OAQ=90°时，点P与点A重合，∴P（3，0）当∠QOA=90°时，点P与点C重合，∴x=0（不合题意）当∠OQA=90°时，设PQ与x轴交于点D．∵∠ODQ+∠ADQ=90°，∠QAD+∠AQD=90°，∴∠OQD=∠QAD．又∵∠ODQ=∠QDA=90°，∴△ODQ∽△QDA．∴，即DQ2=OD•DA．∴（-x+2）2=x（3-x），10x2-39x+36=0，∴x1=，x2=，∴y1=×（）2-+2=；y2=×（）2-+2=；∴P（，）或P（，）．∴所求的点P的坐标是P（3，0）或P（，）或P（，）．分析：（1）已知了A，B的坐标，可用待定系数法求出函数的解析式．（2）①QP其实就是一次函数与二次函数的差，二次函数的解析式在（1）中已经求出，而一次函数可根据B，C的坐标，用待定系数法求出．那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式，得出的新的函数就是关于PQ，x的函数关系式，那么可根据函数的性质求出PQ的最大值以及相对应的x的取值．（3）分三种情况进行讨论：当∠QOA=90°时，Q与C重合，显然不合题意．因此这种情况不成立；当∠OAQ=90°时，P与A重合，因此P的坐标就是A的坐标；当∠OQA=90°时，如果设QP与x轴的交点为D，那么根据射影定理可得出DQ2=OD•DA．由此可得出关于x的方程即可求出x的值，然后将x代入二次函数式中即可得出P的坐标．点评：本题主要考查了二次函数的综合应用，用数形结合的思想来求解是解题的基本思路．
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科目：初中数学
已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标分别为-1和3，与y轴交点C的纵坐标为3，△ABC的外接圆的圆心为点M．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求图象经过M、A两点的一次函数解析式；（3）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使过P、M两点的直线与△ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的△BEF和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
已知：如图，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y=ax+3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在此抛物线上，矩形面积为12，（1）求该抛物线的对称轴；（2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；（3）若线段DO与AB交于点E，以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．
科目：初中数学
（;宁化县质检）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′（1，3）处．（1）求原抛物线的解析式；（2）在原抛物线上，是否存在一点，与它关于原点对称的点也在该抛物线上？若存在，求满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．（3）学校举行班徽设计比赛，九年级（5）班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，，结果精确到0.001）
科目：初中数学
已知，如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，点A的坐标为（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点M在抛物线上，且△ABC与△ABM的面积相等，直接写出点M的坐标；（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（4）若平行于x轴的动直线l与线段AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
已知，如图，抛物线y=x2+px+q与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA≠OB，OA=OC，设抛物线的顶点为点P，直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称．（1）求p、q的值．（2）在题中的抛物线上是否存在这样的点Q，使得四边形PAQD恰好为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）连接PA、AC．问：在直线PC上，是否存在这样点E（不与点C重合），使得以P、A、E为顶点的三角形与△PAC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（;自贡）如图，已知抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解．如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标．解答：解：（1）如答图1所示，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=3，OE=2．∵tan∠DBA=DEBE=12，∴BE=6，∴OB=BE-OE=4，∴B（-4，0）．∵点B（-4，0）、D（2，3）在抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）上，∴16a-4b-2=04a+2b-2=3，解得a=12b=32，∴抛物线的解析式为：y=12x2+32x-2．（2）抛物线的解析式为：y=12x2+32x-2，令x=0，得y=-2，∴C（0，-2），令y=0，得x=-4或1，∴A（1，0）．设点M坐标为（m，n）（m＜0，n＜0），如答图1所示，过点M作MF⊥x轴于点F，则MF=-n，OF=-m，BF=4+m．S四边形BMCA=S△BMF+S梯形MFOC+S△AOC=12BF•MF+12（MF+OC）•OF+12OA•OC=12（4+m）×（-n）+12（-n+2）×（-m）+12×1×2=-2n-m+1 ∵点M（m，n）在抛物线y=12x2+32x-2上，∴n=12m2+32m-2，代入上式得：S四边形BMCA=-m2-4m+5=-（m+2）2+9，∴当m=-2时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为9．（3）假设存在这样的⊙Q．如答图2所示，设直线x=-2与x轴交于点G，与直线AC交于点F．设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（1，0）、C（0，-2）代入得：k+b=0b=-2，解得：k=2，b=-2，∴直线AC解析式为：y=2x-2，令x=-2，得y=-6，∴F（-2，-6），GF=6．在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF=AG2+GF2=32+62=35．设Q（-2，n），则在Rt△AGF中，由勾股定理得：OQ=OG2+QG2=n2+4．设⊙Q与直线AC相切于点E，则QE=OQ=n2+4．在Rt△AGF与Rt△QEF中，∵∠AGF=∠QEF=90°，∠AFG=∠QFE，∴Rt△AGF∽Rt△QEF，∴AFQF=AGQE，即356+n=3n2+4，化简得：n2-3n-4=0，解得n=4或n=-1．∴存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为（-2，4）或（-2，-1）．点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决；第（3）问为存在型问题，首先假设存在，然后利用已知条件，求出符合条件的点Q坐标．
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科目：初中数学
（;自贡）如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（　　）A．3B．4C．5D．8
科目：初中数学
（;自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（　　）A．11B．10C．9D．8
科目：初中数学
（;自贡）如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O（使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（　　）A．4B．5C．6D．7
科目：初中数学
（;自贡）如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3…、Pn、Pn+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3…、Pn、Pn+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、Sn，则S1=4，Sn=．（用含n的代数式表示）