如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，其顶点为D．（1）求：经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）试判断△BCD与△COA是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为24a)．查看本题解析需要普通用户：1个优点。用户与用户即可查看。当前位置：
＞＞＞已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集为（-1..
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集为（-1，2）．（1）方程f（x）+3a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式．（2）f（x）的最小值不大于-3a，求实数a的取值范围．（3）a如何取值时，函数y=f（x）-（x2-ax+m）（|m|＞1）存在零点，并求出零点．
题型：解答题难度：中档来源：不详
∵f（x）＜2x的解集为（-1，2）．∴ax2+（b-2）x+c＜0的解集为（-1，2）．…（1分）∴a＞0，且方程ax2+（b-2）x+c=0的两根为-1和2．即a-b+2+c=04a+2b-4+c=0，所以b=2-ac=-2a，所以f（x）=ax2+（2-a）x-2a，（a＞0）…（2分）（1）∵方程f（x）+3a-0有两个相等的实根，即ax2+（2-a）x+a=0有两个相等的实根∴△=（2-a）2-4a2=0，即3a2+4a-4=0，∴a=-2或a=23…（3分）∵a＞0，∴a=23，∴f(x)=23x2+43x-43…（4分）（2）f（x）=ax2+（2-a）x-2a=a(x+2-a2a)2+-8a2-(2-a)24a∵a＞0，∴f（x）的最小值为-8a2-(2-a)24a，…（5分）则-8a2-(2-a)24a≤-3a，即3a2+4a-4≤0，即-2≤a≤23，…（7分）∵a＞0，∴0＜a≤23…（8分）（3）由y=f（x）-（x2-ax+m）（|m|＞1），得（a-1）x2+2x-（2a+m）=0（※）①当a=1时，方程（※）有一解x=m2+1，函数=f（x）-（x2-ax+m）有一零点x=m2+1，…（9分）②当a≠1时，△=4[2a2+（m-2）a+（1-m）]方程（※）有一解则△=4[2a2+（m-2）a+（1-m）]=0，令△1=4m2+4m-4≥0得m≥22-2或m≤-22-2，∵|m|＞1，即m＞1或m＜-1，i）当m＞1，a=2-m+4m2+4m-44时，（a=2-m-4m2+4m-44（负根舍去）），函数y=f（x）-（x2-ax+m）有一零点x=11-a．…（10分）ii）当m≤-22-2时，a的两根都为正数∴当a=2-m+4m2+4m-44或a=2-m-4m2+4m-44时，函数y=f（x）-（x2-ax+m）有一零点x=11-a．（11分）ⅲ）当-22-2＜m＜-1时，△1=4m2+4m-4＜0，∴△＞0③方程（※）有二解，所以△=4[2a2+（m-2）a+（1-m）]＞0，1）若m＞1，△1=4m2+4m-4＞0，a＞2-m+4m2+4m-44时，（a=2-m-4m2+4m-44（负根舍去）），函数y=f（x）-（x2-ax+m）有两个零点x1，2=-2±4[2a2+(m-2)a+(1-m)]2(a-1)=-1±2a2+(m-2)a+(1-m)a-1；…（12分）2）当m＜-22-2时，△1=4m2+4m-4＞0，a的两根都为正数，∴当a＞2-m+4m2+4m-44或0＜a＜2-m-4m2+4m-44时，函数y=f（x）-（x2-ax+m）有两个零点x1，2=-1±2a2+(m-2)a+(1-m)a-1．…（13分）ⅲ）当-22-2≤m＜-1时，△1=4m2+4m-4≤0，∴△＞0恒成立，∴a取大于0（a≠1）的任意数，函数y=f（x）-（x2-ax+m）有两个零点x1，2=-1±2a2+(m-2)a+(1-m)a-1…（14分）
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集为（-1..”主要考查你对&&二次函数的性质及应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数的性质及应用
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
发现相似题
与“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集为（-1..”考查相似的试题有：
618369291003573696277773402761397449当前位置：
＞＞＞已知函数f(x)=ax2+bx+c（a≠0）满足f(0)=0，对于任意x∈R都有f(x)≥x，..
已知函数f(x)=ax2+bx+c（a≠0）满足f(0)=0，对于任意x∈R都有f(x)≥x，且f(+x)=f(-x)，令g(x)=f(x)-|λx-1|（λ＞0）。 (1)求函数f(x)的表达式； (2)求函数g(x)的单调区间； (3)研究函数g(x)在区间（0，1）上的零点个数。
题型：解答题难度：偏难来源：广东省模拟题
解：（1）∵f(0)=0，∴c=0，∵对于任意x∈R都有， ∴函数f(x)的对称轴为，即，得a=b，又f(x)≥x，即对于任意x∈R都成立， ∴a＞0，且，　　　　∵， ∴b=1，a=1，　　　　∴。 （2），①当时，函数的对称轴为，若，即0＜λ≤2，函数g(x)在上单调递增；若，即λ＞2，函数g(x)在上单调递增，在上单调递减；②当时，函数的对称轴为，　则函数g(x)在上单调递增，在上单调递减；综上所述，当0＜λ≤2时，函数g(x)单调递增区间为，单调递减区间为；&当时，函数g(x)单调递增区间为和，单调递减区间为和． （3）①当0＜λ≤2时，由(2)知函数g(x)在区间（0，1）上单调递增，　　　　　又，　　　　　故函数g(x)在区间（0，1）上只有一个零点；②当λ＞2时，则，而，　　　　， （ⅰ）若2＜λ≤3，由于，且， 此时，函数g(x)在区间（0，1）上只有一个零点；（ⅱ）若λ＞3，由于且＜0，此时，函数g(x)在区间（0，1）上有两个不同的零点；综上所述，当0＜λ≤3时，函数g(x)在区间（0，1）上只有一个零点；当λ＞3时，函数g(x)在区间（0，1）上有两个不同的零点．
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=ax2+bx+c（a≠0）满足f(0)=0，对于任意x∈R都有f(x)≥x，..”主要考查你对&&函数的单调性、最值，二次函数的性质及应用，函数零点的判定定理&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的单调性、最值二次函数的性质及应用函数零点的判定定理
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。&函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)&o，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=O，这个c也就是f(x）=0的根．特别提醒:(1)根据该定理，能确定f(x)在(a,b)内有零点，但零点不一定唯一．&(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x2 -3x +2有f(0)·f(3)&0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．&(3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)&0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.函数零点个数的判断方法:
(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点&&&&&&&&&&&&&&& ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．
发现相似题
与“已知函数f(x)=ax2+bx+c（a≠0）满足f(0)=0，对于任意x∈R都有f(x)≥x，..”考查相似的试题有：
438571873777404997269933814250393735已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是否存在a,b,c∈R，使同时满足一下条件：
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是否存在a,b,c∈R，使同时满足一下条件：
1.对任意x∈R，f（x-4）=f(2-x),且f(x)的最小值为0；2.对于任意x∈R，都有0小于等于f(x0-x小于等于1/2（x-1)2.若存在，求出a,b,c的值；若不存在，请说明理由
1、f(x－4)＝f(2－x)，用x＋3代替式中的x得：f(x－1)＝f(－x－1)，也就是说x＝－1是函数f(x)的对称轴。因为f(x)的最小值是0，因此f(x)可表示为f(x)＝a(x＋1)平方＝ax平＋2ax＋a，其中a＞0，b＝2a，c＝a。你第二个条件表述不是很清楚，我没法做…
2.对于任意x∈R，都有0小于等于f(x）-x小于等于1/2（x-1)2.若存在，求出a,b,c的值；若不存在，请说明理由
抱歉哈，有事没答题。由f(x)－x大于等于0得ax平＋(2a－1)x＋a大于等于0，因x属于R，因此a＞0且判别式＝(2a－1)平－4a平小于等于0，解得a小于等于1/4。由f(x)－x小于等于1/2(x－1)平得(2a－1)x平＋4ax＋2a－1小于等于0，同理有2a－1＜0且判别式＝(－4a)平－4(2a－1)平小于等于0，解得a小于等于1/4。综合可得a＝1/4。所以b＝1/2，c＝1/4。
相关知识等待您来回答
理工学科领域专家知识点梳理
的性质：1.二次函数是，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是图形。对称轴为直线 。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P 。当 时，P在y轴上；当 时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a&0时，抛物线向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c)6.抛物线与x轴交点个数： 时，抛物线与x轴有2个交点。 时，抛物线与x轴有1个交点。当 时，抛物线与x轴没有交点。当 时，函数在 处取得最小值 ；在 上是减函数，在 上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是 。当 时，函数在 处取得最大值 ；在 上是增函数，在 上是减函数；抛物线的开口向下；函数的值域是 。当 时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax?+c(a≠0)。7.定义域：R值域：当a&0时，值域是 ；当a&0时，值域是 ①一般式： ⑴a≠0⑵若a&0，则抛物线开口朝上；若a&0，则抛物线开口朝下；⑶顶点： ；⑷若Δ&0，则图象与x轴交于两点：和；若Δ=0，则图象与x轴切于一点：若Δ&0，图象与x轴无公共点；②顶点式： 此时，对应顶点为，其中, ；③交点式： 图象与x轴交于 和 两点。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）...”，相似的试题还有：
已知函数f(x)=ax2+bx+1(a，b为实数，a≠0，x∈R)，F(x)=\left\{ \begin{array}{l} {f(x)&，&x＞0}\\{-f(x)&，&x＜0} \end{array} \right.．(1)若f(-1)=0，且函数f(x)的值域为[0，+∞)，求F(x)的表达式；(2)设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f(x)为偶函数，判断F(m)+F(n)是否大于0？(3)设g(x)=\frac{lnx+1}{e^{x}}，当a=b=1时，证明：对任意实数x＞0，[F(x)-1]g′(x)＜1+e-2(其中g′(x)是g(x)的导函数)．
已知函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0，b∈R，c∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0，f(0)=1，且对称轴是x=-1，g(x)=\left\{ \begin{array}{l} {f(x)(x＞0)}\\{-f(x)(x＜0)} \end{array} \right.求g(2)+g(-2)的值；(2)在(1)条件下，求f(x)在区间[t，t+2](t∈R)上的最小值f(x)min．
设函数f(x)=ax2-bx+1(a，b∈R)，F(x)=\left\{ \begin{array}{l} {f(x)，x＞0}\\{-f(x)，x＜0} \end{array} \right.(1)如果f(1)=0且对任意实数x均有f(x)≥0，求F(x)的解析式；(2)在(1)在条件下，若g(x)=f(x)-kx在区间[-3，3]是单调函数，求实数k的取值范围；(3)已知a＞0且f(x)为偶函数，如果m+n＞0，求证：F(m)+F(n)＞0．