如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
{[x][…][-3][-2][1][2][…][y][…][][-4][][0][…]}（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．-乐乐题库
& 二次函数综合题知识点 & “如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c...”习题详情
276位同学学习过此题，做题成功率65.9%
如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x&…&-3&-2&1&2&…&y&…&-52&-4&-52&0&…&（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对...”的分析与解答如下所示：
（1）首先从表格中取抛物线P上的任意三点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后再求抛物线与坐标轴的交点坐标．（2）欲求矩形DEFG的面积，需求出两条邻边的长，在相似三角形△ADG和△AOC中，OA、OC长已知，AD、OD可由m表达出来，利用对应边成比例即可求出DG的长；同理，在相似三角形△BEF和△BOC中可求出BE的长，那么由AB-BE-AD即可求出DE的长，长×宽即可得到关于S、m的函数关系式，而m的取值范围可由G点的位置（G在线段AC上，即D在线段OA上，但不与O、A重合）得出．
解：（1）抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0），任取x，y的三组值代入，得：{9a-3b+c=-524a-2b+c=-4a+b+c=-52，解得{a=12b=1c=-4故抛物线P：y=12x2+x-4；令y=0，得：x1=-4，x2=2；令x=0，得：y=-4；则A、B、C三点的坐标分别是A（2，0），B（-4，0），C（0，-4）．（2）∵DG∥OC，∴△ADG∽△AOC，∴ADAO=DGOC其中，AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m；又∵BEBO=EFOC，EF=DG，得BE=4-2m，∴DE=3m，∴S矩形DEFG=DGoDE=（4-2m）o3m=12m-6m2（0＜m＜2）．
此题主要考查的是利用待定系数法求函数解析式的方法、相似三角形的判定和性质以及矩形面积的求法；（2）题在确定m的取值范围时，一定要考虑到形成矩形的条件，即边不能为0．
找到答案了，赞一个
如发现试题中存在任何错误，请及时纠错告诉我们，谢谢你的支持！
如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点...
错误类型：
习题内容残缺不全
习题有文字标点错误
习题内容结构混乱
习题对应知识点不正确
分析解答残缺不全
分析解答有文字标点错误
分析解答结构混乱
习题类型错误
错误详情：
我的名号（最多30个字）：
看完解答，记得给个难度评级哦！
还有不懂的地方？快去向名师提问吧！
经过分析，习题“如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对...”主要考察你对“二次函数综合题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
与“如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对...”相似的题目：
（2013o黄石）如图1所示，已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x=-12时，y取最大值254．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）设点P是直线AC上一点，且S△ABP：S△BPC=1：3，求点P的坐标；（3）直线y=12x+a与（1）中所求的抛物线交于点M、N，两点，问：①是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．②猜想当∠MON＞90°时，a的取值范围．（不写过程，直接写结论）（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M、N两点之间的距离为|MN|=√(x2-x1)2+(y2-y1)2）
已知抛物线y=-x2-2x+a（a＞0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y=12x+12a与x轴相交于B点，与直线AM相交于N点；直线AM与x轴相交于C点（1）求M的坐标与MA的解析式（用字母a表示）；（2）如图，将△NBC沿x轴翻折，若N点的对应点N′恰好落在抛物线上，求a的值；（3）在抛物线y=-x2-2x+a（a＞0）上是否存在一点P，使得以P、B、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
如图，已知抛物线y=x2+mx+n（n≠0）与直线y=x交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OB，BC∥x轴．（1）求抛物线的解析式；（2）设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点（点E在点D的上方），DE=，过D、E两点分别作y轴的平行线，交抛物线于F、G，若设D点的横坐标为x，四边形DEGF的面积为y，求x与y之间的关系式，写出自变量x的取值范围，并回答x为何值时，y有最大值．&&&&
“如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c...”的最新评论
该知识点好题
1（2013o淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（　　）
2二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于12的点P共有（　　）
3如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是（　　）
该知识点易错题
1（2012o南浔区二模）如图，点A（a，b）是抛物线y=12x2上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=-bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（　　）
2（2012o静海县二模）如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　）
3如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x&…&-3&-2&1&2&…&y&…&-52&-4&-52&0&…&（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
{[x][…][-3][-2][1][2][…][y][…][][-4][][0][…]}（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
{[x][…][-3][-2][1][2][…][y][…][][-4][][0][…]}（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．”相似的习题。知识点梳理
证明的方法很多，有比较法、分析法、综合法，均值不等式法（公式法）、放缩法、反证法、换元法、构造法、判别式法等等。
的性质：1.二次函数是，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是图形。对称轴为直线 。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P 。当 时，P在y轴上；当 时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a&0时，抛物线向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c)6.抛物线与x轴交点个数： 时，抛物线与x轴有2个交点。 时，抛物线与x轴有1个交点。当 时，抛物线与x轴没有交点。当 时，函数在 处取得最小值 ；在 上是减函数，在 上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是 。当 时，函数在 处取得最大值 ；在 上是增函数，在 上是减函数；抛物线的开口向下；函数的值域是 。当 时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax?+c(a≠0)。7.定义域：R值域：当a&0时，值域是 ；当a&0时，值域是 ①一般式： ⑴a≠0⑵若a&0，则抛物线开口朝上；若a&0，则抛物线开口朝下；⑶顶点： ；⑷若Δ&0，则图象与x轴交于两点：和；若Δ=0，则图象与x轴切于一点：若Δ&0，图象与x轴无公共点；②顶点式： 此时，对应顶点为，其中, ；③交点式： 图象与x轴交于 和 两点。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a≠0，x...”，相似的试题还有：
已知函数f(x)=ax2+bx+1(a，b为实数)，x∈R，(1)若f(x)有一个零点为-1，且函数f(x)的值域为[0，+∞)，求f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，当x∈[-2，2]时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围．
已知函数f&(x)=ax2+bx+l(&a，b∈R，a≠0&)，函数f&(x)有且只有一个零点，且f&(-1)=0．(Ⅰ)求实数a，b的值；(Ⅱ)当x∈[-2，2]时，g(&x)=f&(x)-kx不是单调函数，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=ax2+bx+1(a，b为实数，a≠0，x∈R)．(1)当函数f(x)的图象过点(-1，0)，且方程f(x)=0有且只有一个根，求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x∈[-2，2]时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围．已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c属于R),f(-2)=f(0)=0,f(x)的最小值为-1.补充：（1）求f(x）的解析式；（2）设g(x)=f(-x)-mf(x)+1,若g(x)在[-1,1]上是减函数,求实数m的取值范围；（3)设函数h(x)=log2[p-f(x)],若此函数在定义域内不存在_百度作业帮
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c属于R),f(-2)=f(0)=0,f(x)的最小值为-1.补充：（1）求f(x）的解析式；（2）设g(x)=f(-x)-mf(x)+1,若g(x)在[-1,1]上是减函数,求实数m的取值范围；（3)设函数h(x)=log2[p-f(x)],若此函数在定义域内不存在
补充：（1）求f(x）的解析式；（2）设g(x)=f(-x)-mf(x)+1,若g(x)在[-1,1]上是减函数,求实数m的取值范围；（3)设函数h(x)=log2[p-f(x)],若此函数在定义域内不存在零点,求实数p的取值范围已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），不等式f（x）＜-2--在线问答
&》&高中数学
提问者：　|　优点奖励：3　|　关注次数：0次&&
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），不等式f（x）＜-2x的解集为{x|-3＜x＜-1}若函数g（x）=f（x）+6a和x轴只有一个交点（1）求f（x）的解析式（2）求当x[，5]时，函数y=f（x）的最小值
（1）∵二次函数f（x）=ax2+bx+x（a≠0），不等式f（x）=-2x的解集是{x|-3＜x＜-1}∴二次函数y=ax2+bx+c的图象和直线y=-2x的交点为（1，-2），（3，-5）∴由题意得：由函数g（x）=f（x）+6a和x轴只有一个交点即方程ax2+bx+c+6a=0由两个相等的实数根∴△=b2-4a（c-6a）=0...③解①②③得：2-65x-352-65x-35=-15(x+3)2+65∴函数f（x）图象开口向下，对称轴x=-3∴函数f（x）在[-3，+∞）上单调递减∴当x∈[]时，fmin=f（5）=-（2013?莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-3，0）、B（1，0）、C（-2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）把点A、B、C的坐标分别代入已知抛物线的解析式列出关于系数的三元一次方程组9a-3b+c=0a+b+c=04a-2b+c=1，通过解该方程组即可求得系数的值；（2）由（1）中的抛物线解析式易求点M的坐标为（0，1）．所以利用待定系数法即可求得直线AM的关系式为y=13x+1．由题意设点D的坐标为（x0，-13x02-23x0+1），则点F的坐标为（x0，13x0+1）．易求DF=-13x02-23x0+1-(13x0+1)=-13x02-x0=-13(x0+32)2+34．根据二次函数最值的求法来求线段DF的最大值；（3）需要对点P的位置进行分类讨论：点P分别位于第一、二、三、四象限四种情况．此题主要利用相似三角形的对应边成比例进行解答．解答：解：由题意可知9a-3b+c=0a+b+c=04a-2b+c=1．解得a=-13b=-23c=1．∴抛物线的表达式为y=-13x2-23x+1．（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）．设直线MA的表达式为y=kx+b，则b=1-3k+b=0．解得k=13b=1．∴直线MA的表达式为y=13x+1．设点D的坐标为（x0，-13x02-23x0+1），则点F的坐标为（x0，13x0+1）．DF=-13x02-23x0+1-(13x0+1)=-13x02-x0=-13(x0+32)2+34．当x0=-32时，DF的最大值为34．此时-13x02-23x0+1=54，即点D的坐标为（-32，54）．（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，-13m2-23m+1）．在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3AN，∴-13m2-23m+1=3(m+3)，即m2+11m+24=0．解得m=-3（舍去）或m=-8．又-3＜m＜0，故此时满足条件的点不存在．②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MA上，∴只能PN=3AN，∴-13m2-23m+1=3(-m-3)，即m2+11m+24=0．解得m=-3或m=-8．此时点P的坐标为（-8，-15）．③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则-3(-13m2-23m+1)=m+3，即m2+m-6=0．解得m=-3（舍去）或m=2．当m=2时，-13x02-23x0+1=-53．此时点P的坐标为（2，-53）．若PN=3NA，则-(-13m2-23m+1)=3(m+3)，即m2-7m-30=0．解得m=-3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，-39）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（-8，-15）、（2，-53）、（10，-39）．点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质以及二次函数最值的求法．需注意分类讨论，全面考虑点P所在位置的各种情况．
请选择年级七年级八年级九年级请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：初中数学
（2013?莱芜）如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（　　）A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°
科目：初中数学
（2013?莱芜）如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y关于x的函数图象大致为（　　）A．B．C．D．
科目：初中数学
（2013?莱芜）如图，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD=2．
科目：初中数学
（2013?莱芜）如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A、B上的观测点进行观测，从A岛测得渔船在南偏东37°方向C处，B岛在南偏东66°方向，从B岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是72海里，A岛上维修船的速度为每小时20海里，B岛上维修船的速度为每小时28.8海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？（参考数据：cos37°≈0.8，sin37°≈0.6，sin66°≈0.9，cos66°≈0.4）
科目：初中数学
（2013?莱芜）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．（1）证明DE∥CB；（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．