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已知函数f（x）（x∈R）满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有λ（x1-x2）2≤（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]和|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，其中λ是大于0的常数，设实数a0，a，b满足f（a0）=0和b=a-λf（a）。（1）证明λ≤1，并且不存在b0≠a0，使得f（b0）=0；（2）证明（b-a0）2≤（1-λ2）（a-a0）2；（3）证明[f（b）]2≤（1-λ2）[f（a）]2。
题型：证明题难度：偏难来源：江苏高考真题
解：（1）不妨设，由可知∴f（x）是R上的增函数∴不存在，使得又∵∴。（2）要证：，即证（*）不妨设由得，即则&①由得即则②由①②可得∴；（3）因为∴∵又由（2）中结论∴。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）（x∈R）满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有λ（x1-x2）..”主要考查你对&&函数的单调性、最值，综合法与分析法证明不等式，反证法与放缩法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性、最值综合法与分析法证明不等式反证法与放缩法
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。综合法：
利用某些已知的不等式或已证过的不等式或不等式的性质推导出所要证的不等式成立，这种证明方法叫综合法，即由因导果。利用均值不等式的有关公式最为常见。
（1）从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种证明方法叫分析法，即执果索因； （2）用分析法证明要注意格式：“若A成立，则B成立”的模式是：欲证B为真，只需证C为真，只需证D为真…最后得出A或已知的性质、公理、定理，从而得出B为真。也可使用简化叙述。即BCD…A或已知的性质、公理、定理。切不可使用BCD…A。 用综合法分析法证明不等式常用到的结论：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
3， 反证法的定义：
有些不等式无法利用题设的已知条件直接证明，我们可以用间接的方法——反证法去证明，即通过否定原结论——导出矛盾——从而达到肯定原结论的目的。
放缩法的定义：
把原不等式放大或缩小成一个恰好可以化简的形式，比较常用的方法是把分母或分子适当放大或缩小（减去或加上一个正数）使不等式简化易证。 反证法证题的步骤：
若A成立，求证B成立。共分三步：（1）提出与结论相反的假设；如负数的反面是非负数，正数的反面是非正数即0和负数；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（必须由假设出发进行推理否则不是反证法或证错）；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.矛盾：与定义、公理、定理、公式、性质等一切已有的结论矛盾甚至自相矛盾。反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。
放缩法的意义：
放缩法理论依据是不等式的传递性：若,a&b,b&c，则a&c.
放缩法的操作：
若求证P&Q，先证P&P1&P2&…&Pn,再证恰有Pn&Q.需注意：（1）只有同方向才可以放缩，反方向不可。（2）不能放（缩）得太大（小），否则不会有最后的Pn&Q.
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796266455316862439393236460982809796当前位置：
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设定义域为R的函数f（x）满足下列条件：①对任意x∈R，f（x）+f（-x）=0；②对任意x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0．则下列不等式不一定成立的是（　　）A．f（a）＞f（0）B．f(1+a2)＞f(a)C．f(1-3a1+a)＞f(-3)D．f(1-3a1+a)＞f(-a)
题型：单选题难度：中档来源：上海模拟
∵①对任意x∈R，f（x）+f（-x）=0，∴函数f（x）是奇函数，∵②对任意x1，x2∈[1，a]，当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）＞0，∴函数f（x）在区间[1，a]上是单调增函数．∵a＞1，故选项A、f（a）＞f（0）一定成立．∵1+a2＞a，故选项B、f（1+a2）＞f（a）一定成立．∵1-3a1+a-（-a）=(a-1)21+a＞0，∴1-3a1+a＞-a，∴a＞3a-11+a=3-4a+1≥1，∴f（a）＞f（3a-11+a），两边同时乘以-1可得-f（a）＜-f（3a-11+a），即f（1-3a1+a）＞f（-a），故选项D一定成立．1-3a1+a-（-3）=41+a＞0，∴1-3a1+a＞-3，∴3＞3a-11+a＞0，但不能确定3和3a-11+a&是否在区间[1，a]上，故f（3）和f（3a-11+a）的大小关系不确定，故f（1-3a1+a） 与f（-3）的大小关系不确定，故C不一定正确．故答案选& C．
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据魔方格专家权威分析，试题“设定义域为R的函数f（x）满足下列条件：①对任意x∈R，f（x）+f（-x）=0；..”主要考查你对&&分段函数与抽象函数&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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分段函数与抽象函数
分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。&抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。 知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
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若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（　　）A．f（x）为奇函数B．f（x）为偶函数C．f（x）+1为奇函数D．f（x）+1为偶函数
题型：单选题难度：偏易来源：重庆
∵对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，∴令x1=x2=0，得f（0）=-1∴令x1=x，x2=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1，∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，∴f（x）+1为奇函数．故选C
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据魔方格专家权威分析，试题“若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|
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于等式f(x1)-f(x2)/(x1-x2)＜0 x1＜x2：x1-x2＜0 所：f(x1)-f(x2)＞0 即说明函数f(x)定义域R内减函数 ① x＜0f(x)=a^x 所f&#39;(x)=a^x*lna＜0 则<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad＜a＜1………………………………………………（1） ② x≥0f(x)=(a-3)x+4a 所f&#39;(x)=a-3＜0 则a＜3……………………………………………………（2） 要保证整Rf(x)均减函数 所：x趋近于0候a^x≥(a-3)x+4a lim&x→0-&f(x)=lim&x→0-&a^x=1 lim&x→0+&f(x)=lim&x→0+&(a-3)x+4a=4a 所<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad≥4a 则a≤1/4…………………………………………………（3） 联立(1)(2)(3)： 0＜a≤1/4
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