对列方程解应用题（例１、例２）的分析及教学基本思路
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对列方程解应用题（例１、例２）的分析及教学基本思路
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对列方程解应用题（例１、例２）的分析及教学基本思路一 &&& 列方程解应用题是在用算术方法解应用题的基础上进行教学的。它以四则运算的基本应用和常见的数量关 系为依据，综合运用了用字母表示数、解方程等知识，有特殊的解题思路和方法，有完整的解题步骤和程序。 &&& 教材中“列方程解应用题”这一小节中的例1、例2，安排的是用方程解比较简单的两步计算应用题，且为 用算术解法时需要逆思考的题目。通过教学可以使学生清楚地看出列方程解应用题的基本方法和特点，了解两 种解题方法的不同，较好地掌握用方程解题的思路，出解题的步骤。从而为后面学习用方程解一般的两、 三步计算的应用题打下基础。 &&& 列方程解应用题的思路比较简单、顺畅，思维难度小，且解法划一，可以使一些应用题化难为易（特别是 逆向思考的还原应用题和两步计算的和倍、差倍及分数应用题等），有明显的优越性，这对提高学生应用数学 基础知识，解决简单的实际问题的能力，有积极作用。 &&& 制定一节课的教学目标，通常可以从应掌握哪些基础知识、基本技能；培养哪些能力；使学生受到哪些思 想品德及培养良好的学习习惯等方面考虑。 &&& 本课时的教学目标是： &&& 1.初步学会列方程解应用题，初步掌握列方程解应用题的一般步骤和方法； &&& 2.初步体会代数解法的优越性，能正确地用方程解较简单的、逆思考的两步应用题； &&& 3.培养学生分析、比较、概括的能力和认真思考、仔细检验的良好习惯。 &&& 本课时的重点是分析数量关系和根据等量关系正确地布列方程。 &&& 本课时的难点是确立与列算术式不同的表示等量关系的思路和等量关系的寻求。 &&& 本课时的关键是教会学生写出显示相等关系的数量关系式。 &&& 二 &&& 新知识教学前的准备 &&& 1.（1）出示比较简单的、数据较小的方程， 让学生用口算的方法解方程。 &&& （2）出示比较简单的、与例题相关的文字叙述题， 让学生列出方程，并解方程。为寻求等量关系列方程 解应用题作好铺垫。 &&& 2.出示课本中例1前的复习题，指名学生板演两种解法， 其他学生座练，教师巡视注意辅导后进生。然后 师生共同评讲，简要指出：解法一需要逆向思考；解法二设原来有x千克后， 只需按题目叙述顺序列出方程， 通过比较使学生初步体会方程解法的优越性。进而教师再指出：解法二我们已经学过，实际就是列方程解应用 题，今天我们要学习用方程解答一些步数较多的应用题，这样很自然地导入新课。 &&& 新知识教学中的要点 &&& 1.关于例1的教学，从算术方法解应用题到列方程解应用题， 是学生认识上的一次飞跃。学生初学列方程 解应用题时，容易受长期使用的算术解法的干扰。故要帮助学生做好从算术解法到代数解法的过渡工作。一方 面由例1前的复习题引伸为例1，使学生切实掌握常见的基本数量关系，找到新、旧知识的衔接点；另一方面由 已出现过的定向地把方程写完全的题型，过渡到列方程解应用题，使学生初步确立方程解法的思路，并按照这 种思路去寻找题中的等量关系，这是至关重要的一步。 &&& 教学例1时，要具体说明解题步骤， 为后面概括解题步骤打好基础。同时，要注意点拨和纠正各个步骤中 容易出现的问题。如：在设未知数时，设句要完整明白，并注上单位名称；方程的解是数，不是数量，不要加 上单位名称；答句和设句要一致等。 &&& 2.关于例2的教学，教学时，引导学生弄清题意， 明确哪些是已知的，哪些是未知的，要着重分析数量关 系，写出体现相等关系的表达式，再列出方程。解方程及答让学生自己完成。课本中的想一想：“这道题还可 以怎样想？列出方程来。”教师要留给学生适当的思考空间，让学生寻找不同的等量关系列出方程。 &&& 3.列方程解应用题的步骤的教学。通过比较两例的教学过程，师生共同结合列方程解应用题的特点， 列方程解应用题的一般步骤。教师概括操作程序，即审题―选元―寻找等量关系―列方程―解方程―检验 ―写答。 &&& 新知识教学后的练习 &&& 1.练习要紧紧围绕教学目标进行，如第1 题要求先找数量间的相等关系，再把每个方程补充完整；第2 题 结合解题过程说出列方程解应用题的步骤；第3题要求列出不同方程解题。这些都是为复习巩固新知，实现教学 目标而服务的。 &&& 2.练习要注意循序渐进、由易到难，按上面三道练习题的顺序排列，使学生在练习中对所学新知得到逐步 巩固和提高。另外，还要注意对不同层次的学生提出不同的要求。如第1 题对优等生可以要求找出其他相等关 系列方程；第3题对差生只要求能求得解答。 &&& 三 &&& 教学的基本思路和方法 &&& 1.处理好教与学的关系。教师既要做到点拨引导，又要敢于放手引导学生参与尝试和讨论，展开思维活动 。如列方程解应用题的关键之处，教师要着重指导学生思考、探索挖掘等量关系的方法；解题步骤的要启 发学生结合实例分步予以概括等。 &&& 2.抓住本课时教学内容新旧知识联系紧密的特点，直接从新旧知识的连接点展开，既有利于突出重点，突 破难点，又能节省教学时间，以便集中力量加强练习，提高教学效果。如例1 由复习题增添一个条件引伸而来 ，以复习题为基础教学例1 有助学生明确新知新在何处及较顺利地寻求等量关系列出方程。教学例1后，例2只 需着重指导解题的前两步，后两步则可放手让学生自己去完成。 &&& 学习方法的指导 &&& 根据新教材留给学生一定的思维空间的特点，教师要鼓励学生自己动脑参与探索，让学生有发表意见的机 会，绝对不能包办代替，使学生不仅能学会，而且能会学。还要根据本课时教学内容新旧知识联系紧密的特点 ，教师要创设情境指导学生借助旧知去获取新知。这是教学艺术最高之所在。通过上述学法的指导，将会对后 继知识的学习起着十分重要的作用。 &&& 附：“列方程解应用题例1、例2”
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例1 用改进的欧拉方法求一阶方程初值问题的
例2 数学摆的运动方程与近似方程数值解比较
例3 四阶龙格库塔公式求数值解
Matlab实现求数值解
例1 求初值问题y =x*sin(x)-y,y(0)=0的数值
解.先编辑一个定义方程的ODEF函数文件
ODEfun1.m.
例2 求方程组初值问题的数值解,按指定步长
0.05划分节点.
例3 按指定的精度求高阶方程初值问题的数值解.-Numerical Solution of the law a method of using the improved Euler&#39 s equation of order to a first-order initial value problem of the numerical solution of cases of two mathematical pendulum equations of motion compared with the approximate numerical solutions of equations of three cases of fourth-order Runge-Kutta numerical solution of the formula Matlab order to achieve the numerical solution of demand cases seeking an initial value problem y &#39 = x* sin (x)-y, y (0) = 0 the numerical solution. first, the definition of an equation editor ODEF function file ODEfun1.m. cases of two demand equations initial value problem of numerical solution, according to the specified division of the node step 0.05. Example 3 according to the specified precision of seeking higher-order equation of the numerical solution of initial value problem.
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&[] - 利用四阶龙格-库塔公式计算常微分初值问题的数值解
&[] - 龙格库塔求解微分方程数值解
&[] - 【欧拉算法】 微分方程的本质特征是方程中含有导数项,数值解法的第一步就是...欧拉(euler)算法是数值求解中最基本、最简单的方法,但其求解精度较低,一般不在...对于常微分方程: dy/dx=f(x,y),x∈[a,b] y(a)=y0 可以将区
&[] - for solving euler equation with flux vector splitting
&[] - * 用改进的欧拉方法求解初值问题，其中一阶微分方程未y =f(x,y)
* 初始条件为x=x[0]时,y＝y[0].
* 输入: f--函数f(x,y)的指针
* x--自变量离散值数组(其中x[0]为初始条件)
* y--对应于自变量离散值的函数值数组(其中y[0]为初始条件)
&[] - C语言实现的改进欧拉法，用定步长和变步长实现改进欧拉法求解常微分方程组。
&[] - 龙格库塔求解微分方程数值解
&[] - 数值微分,包括四阶经典龙格库塔方法，改进的欧拉方法、Adams方法阅读下面的解题过程:[例]已知a^2-4a+1=0,求a^2+1/a^2的值.解：由a^2-4a+1=0,知a≠0,∴a-4+1/a=0,即a+1/a=4.∴(a+1/a)^2=4^2,a^2+2+1/(a^2)=16,即a^2+1/(a^2)=14.仿照上面的方法,解决下面的问题.已知x^2+3x-1=0,求x^2/(x^4-3x^_百度作业帮
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阅读下面的解题过程:[例]已知a^2-4a+1=0,求a^2+1/a^2的值.解：由a^2-4a+1=0,知a≠0,∴a-4+1/a=0,即a+1/a=4.∴(a+1/a)^2=4^2,a^2+2+1/(a^2)=16,即a^2+1/(a^2)=14.仿照上面的方法,解决下面的问题.已知x^2+3x-1=0,求x^2/(x^4-3x^2+1)的值.急!在线等~~
同理x-1/x=-3（x-1/x）²=9x²+1/x²=11原式=1/（x²-3+1/x²）=1/（11-3）=1/810、用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是．
观察210°+cos240°+sin10°cos40°=34；26°+cos236°+sin6°cos36°=34．（1）用类比的方法猜想一个一般性的结论；（2）证明你的猜想．
一道试题，A，B，C三人可解出的概率分别为，则三人独立解答，仅有1人解出的概率为&&（　　）
A、B、C、D、1
已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB、AD所成的角分别为α、β（如图1），则cos2α+cos2β=1．用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明．
1．（共12 分）解：（I），，=
?&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&2分&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
5分又&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
6分&&&&&&&&&&&&&
函数的最大值为.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
7分当且仅当（Z）时，函数取得最大值为.（II）由（Z），&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
9分得& （Z）.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
11分函数的单调递增区间为[](Z).&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
122．解：(Ⅰ) 选手甲答道题进入决赛的概率为；&&& ……………1分选手甲答道题进入决赛的概率为；…………………………3分选手甲答5道题进入决赛的概率为；&& …………………5分∴选手甲可进入决赛的概率++．&&&&&&& …………………7分&&
(Ⅱ)依题意，的可能取值为．则有，&&&&&&&&&&&&&&&
，&&&&&&& ， …………………………10分因此，有ξ345P．&&&&&&&&&
……………………………12分3．（共12分）解法一：解：（Ⅰ）且平面.-------------2分&&&&&&&&&&&&&&&&&
为在平面内的射影.&&&&&&&&
--------3分&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&又⊥,
∴⊥.&&&&&&&&&&&
----------4分（Ⅱ） 由（Ⅰ）⊥，又⊥， ∴为所求二面角的平面角.&&&&&&&&
-------6分又∵==4,∴=4
, ∴=60°. -------8分即二面角大小为60°.（Ⅲ）过作于D，连结,&&&&&&&&&&&&
由（Ⅱ）得平面平面,又平面,∴平面平面,且平面平面,∴平面.∴为在平面内的射影. .
--------10分在中，，在中，，.∴
=.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
------------11分&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
所以直线与平面所成角的大小为.&&&&&&&&
----12分&&&&&&&&&&&&&&&
解法二：解：（Ⅰ）由已知，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
则 ,.&&&&&&&&&&&
-------2分&& 则，.
.&&&&& .&&&&&&
----------------4分&&
（Ⅱ），平面.是平面的法向量. -------5分设侧面的法向量为,,.,&&
&&&.令则.则得平面的一个法向量.&&&&&&&&&&&&&&
---------6分.&&&&&&& 即二面角大小为60°.&&&&
----------8分（Ⅲ）由（II）可知是平面的一个法向量.&&&& --------10分又， .&& -----11分&&&&&&& &&&&&&&&&&&&所以直线与平面所成角为&&&&&&&&&&
---------12分4．解：（I）函数&&& 当& …………2分&&& 当x变化时，的变化情况如下：―0+极小值&&& 由上表可知，函数；&&& 单调递增区间是&&& 极小值是&&&&&&&& …………6分&&
（II）由&&&&& …………7分&&& 又函数为[1，4]上单调减函数，&&& 则在[1，4]上恒成立，所以不等式在[1，4]上恒成立.&&& 即在[1，4]上恒成立.&&&&&&&&&&& …………10分&&& 又在[1，4]为减函数，&&& 所以&&& 所以&&&&&&&&&&&&&&&&&& …………12分5．解：椭圆的左、右焦点分别为、
，&&&&&&&&
……2分又，& ,&&&&& ………3分解得，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
椭圆的方程为
．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
………4分&&
（Ⅱ）由，得．设点、的坐标分别为、，则……5分．&&
（1）当时，点、关于原点对称，则．&&
（2）当时，点、不关于原点对称，则，由，得&&&&&& 即点在椭圆上，有，化简，得．，有．………………①&&&&&&&&
……………7分又，由，得．……………………………②　　 　将①、②两式，得．，，则且．综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是． ………………8分（Ⅲ），点到直线的距离，的面积&&&&&&&&&&&&&&&
．&&&&&&&&&&
………………………… 10分由①有，代入上式并化简，得．，．&&& &&&&&&&&&&&&&&&&……………………… 11分当且仅当，即时，等号成立．当时，的面积最大，最大值为． ……………………… 12分6．解：（1）……………………4分（2）的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn，∴设的方程为把，∴的方程为∵……………………6分 ∴∴=…………………………8分 （3）∴S中最大数a1=－17.…………………………10分设公差为d，则a10=由此得又∵∴∴∴……………………12分本资料来源于《七彩教育网》2009届新课标数学考点预测（26）：函数与方程的思想方法《2009年新课标考试大纲》明确指出“数学知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法”。其中数学思想方法包括： 函数与方程的思想方法、 数形结合的思想方法 、 分类整合的思想方法、 特殊与一般的思想方法、 转化与化归的思想方法、 必然与或然的思想方法。数学思想方法是对数学知识内容和方法的本质认识，是对数学的规律性的理性认识。高考通过对数学思想方法的考查，能够最有效地检测学生对数学知识的理解和掌握程度，能够最有效地反映出学生对数学各部分内容的衔接、综合和渗透的能力。《考试大纲》对数学考查的要求是“数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构” 。而数学思想方法起着重要桥梁连接和支称作用，“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度” 。“ 数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。” 数学的思想方法渗透到数学的各个角落，无处不在，有些题目还要考查多个数学思想。在高考复习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，在复习中要有意识地渗透这些数学思想，提升数学思想。一、函数与方程的思想 所谓函数的思想，就是用运动和变化的观点、集合对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数。运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决，函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是要善于利用函数知识或函数观点去观察分析处理问题。所谓方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程（组），或者运用方程的性质去分析转化问题使问题获得解决，方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是利用方程或方程观点观察处理问题。函数思想与方程思想是密不可分的，可以相互转化的。函数和方程的思想是最重要和最常用的数学思想，它贯穿于整个高中教学中，中学数学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数，尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具．因此，在数学教学中注重函数与方程的思想是相当重要的．在高考中，函数与方程的思想也是作为思想方法的重点来考查的，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查。1、利用函数与方程的性质解题例1．（2008安徽卷，理,11）若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（&&& ）A．&&&&&&&&&&&&&&&& B．C．【论文】1例水解鱼蛋白制备过程中的冒泡现象分析_百度文库
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