极值问题和求积问题举例——初等数学与高等数学在处理方法上的联系--《江西师院学报(自然科学版)》1978年01期
极值问题和求积问题举例——初等数学与高等数学在处理方法上的联系
【摘要】：正 打倒“四人帮”以后,教育阵地这块重灾区获得了新生。广大师生的精神面貌焕然一新。我们通过揭批“四人帮”,澄清了思想,提高了认识,下狠心一定要把“四人帮”所造成的损失夺回来。二年来的(教材教法)课程的刻苦学习以及毕业前的教育革命的亲身实践,对于如何用辩证唯物主义观点去观察、分析数学中的矛盾之间的关系;找规律、抓本质,掌握了一定的思想方法。我们深深认识到:高等数学与初等数学是一个有机的整体,不学好高等数学,教学初等数学就站不高,看不远,把握不住中学数学内容本质的东西,对初
【关键词】：
【正文快照】：
打倒“四人帮”以后,教育阵地这块重灾区获得了新生。广大师生的精神面貌焕然一新。我们通过揭批“四人帮”,澄清了思想,提高了认识,下狠心一定要把“四人帮”所造成的损失夺回来。二年来的(教材教法)课程的刻苦学习以及毕业前的教育革命的亲身实践,对于如何用辩证唯物主义观
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目 录一、基本逻辑知识（一）什么是逻辑学（二）逻辑思维的基本形式1.概念（1）什么是概念（2）概念的内涵和外延（3）概念间的关系①同一关系②交叉关系③从属关系④矛盾关系⑤反对关系（4）概念的限定和概括①概念的限定②概念的概括（5）概念的定义（6）概念的划分2.判断（1）什么是判断（2）判断的分类（3）数学中的判断①性质判断②关系判断③假言判断④选言判断⑤联言判断⑥负判断3.命题（1）什么是命题（2）命题的结构（3）简单命题与复合命题①假言命题②选言命题③联言命题④等价命题⑤否定命题（4）命题的四种形式及其关系（5）命题的演算规则（6）命题的条件（7）公理、定理、推论（8）分断式命题（9）逆命题的制造4.推理（1）什么是推理（2）演绎推理（3）归纳推理（4）类比推理5.数学证明（1）什么是证明（2）证明的规则（三）逻辑思维的基本规律1.同一律2.矛盾律3.排中律4.充足理由律二、怎样解数学题（一）解数学题的实质（二）解题的要求1.解答数学题要正确合理2.解题过程要符合逻辑3.解题方法力求简单清楚4.解题理由要充分5.解题的答案要详尽无遗6.解题的最后结果形式要简单7.注意命题条件与结论的推广（三）解题步骤1.审题（1）分析条件，理解题意（2）注意题中的常数2. 探求解 题方 法（1）区分习题类型（2）观察、联想、转化①观察②联想③转化3.写出习题的解答过程4.检查答案是否合理（1）推理要正确（2）检查答案是否完备、确切（3）检查解答是否合乎要求（四）解题后的回忆1.解题方法的回忆2.错误分析三、解数学题的常用方法（一）观察法（二）定义法（三）分析法（四）综合法（五）反证法（六）同一法（七）数学归纳法（八）第二数学归纳法（九）整体法（十）配方法（十一）换元法（十二）待定系数法（十三）参数法（十四）相消法（十五）代入法（十六）比较法（十七）“1”的代换法（十八）试探法（十九）赋值法（二十）构造法（二十一）三角法（二十二）直角坐标法（二十三）极坐标法（二十四）复数法四 各种题型的常用解法（一）算术问题的解法1.式题的解法（1）四则计算题的计算方法（2）四则混合式题的计算方法①基本法②简算法③约分法④拆数法（3）繁分数的化简方法①相除法②倍数法③约分法④逐次减层法（4）速算的方法①凑整法②凑同法③基准数法④反数法⑤拆数法⑥公式法（5）验算的方法①正算法②逆算法③弃九法2.文字题的解法①直译法②意译法③分析法④综合法⑤缩句法⑥分段法⑦代数法3.应用题的解法①综合法②分析法③图解法④直接法⑤列举法⑥追踪法⑦逆推法⑧消元法⑨假设法⑩对应法⑾不变量法⑿变换条件法⒀增元法⒁类比法⒂比例法⒃归一法⒄倍比法⒅归总法（19）公式法（20）代数法（二）初等代数问题的解法1.代数式问题的解法（1）整式的运算方法①基本运算法②竖式运算法③公式法④分离系数法⑤综合除法⑥比较系数法⑦数值代人法（2）因式分解的方法①提取公因式法②公式分解法③分组分解法④十字相乘法⑤求根法⑥配方法⑦余元定理法⑧比较系数法⑨数值代入法（3）分式的运算法①基本运算法②比较系数法③数值代入法④乘因式法（4）根式的运算法①有理化因式法②基本运算法③公式法2.代数方程与方程组的解法（1）有理方程的解法①同解变形法②分解因式法③求根公式法④换元法⑤韦达定理法⑥配方法⑦余元定理法⑧比较系数法（2）无理方程的解法①乘方法②观察法③配方法④因式分解法⑤换元法⑥共轭根式法（3）方程组的解法①代入消元法②加减消元法③换元法④韦达定理法⑤分解因式法⑥行列式法3.代数不等式问题的解法（1）整式不等式的解法①基本运算求解法②配 方法③分解因式法（2）分式不等式的解法①运算求解法②不等式联立法③转化法（3）绝对值不等式的解法①公式法②区间分析法（4）无理不等式的解法①运算求解法②不等式联立法（5）不等式组的解法4.指数与对数问题的解法（1）幂的运算方法①基本运算法②代数公式法（2）对数的运算方法①基本运算法②定义法③换底公式法（3）指数方程的解法①比较指数法②取对数法③换元法④分解因式法（4）对数方程的解法①定义法②换底公式法③比较真数法④换元法5.数列问题的解法（1）求数列通项公式的方法①观察分析法②公式法③转化法④归纳法（2）求由递推公式给出的数列通项的方法①归纳法②作差求和法③配项法④消常数项法⑤换元法⑥特征方程法（3）数列求和的方法①公式法②转化法③通项公式变形法④和式倒写相加法⑤和式变倍相减法⑥复数法6.排列组合问题的解法（1）排列、组合和式的求值 化简及组合恒等式的证明方法①基本公式法②母函数法③数学归纳法④构造模型法（2）排列组合应用题的解法①模型类比法②直接分步法③直接分类法④淘汰法⑤放缩法⑥集合法7.函数问题的解法（1）求函数定义域的方法（2）求函数值域的方法①直接法②反函数法③图象法④判别式法⑤平均 值不等 式法⑥配方 法⑦二次函数法⑧换元法⑨导数法（3）求函数解析式的方法①待定系数法②“对应”变形法③过渡变量法④特殊值法⑤列解方程（组）法⑥数学归纳法（4）作函数图象的方法①描点法②平移法③对称法④叠加法⑤绝对值翻转法⑥导数法8.复数问题的解法（1）复数的运算方法①直接运算法②“1”的代换法③“i”的代换法④“ω”的代换法⑤向量法（2）复数综合题的解法①复数相等法②共轭复数法③复数模的不等式法9.代数证明题的证法（1）恒等式的证明方法①一般方法②公式法③代值验证法④待定系数法⑤数学归纳法⑥拆项法⑦母函数法（2）条件等式的证明方法①综合法②分析法③代人法④变换法⑤（代数）消元法⑥换元法⑦数学归纳法（3）不等式的证明方法①比较法②综合法③分析法④拆项法⑤放缩法⑥数学归纳法⑦反证法⑧换元法⑨辅助式法⑩配方法⑾判别式法⑿导数法⒀构造法⒁重要不等式法（三）平面几何问题的解法1.证明题的证法（1）普通问题的证明方法①综合法②分析法③反证法④同一法⑤枚举归纳法⑥数学归纳法⑦叠置法⑧拼合法⑨分解法⑩扩充法⑾对称变换法⑿平移变换法⒀旋转变换法⒁面积法⒂射影法⒃变更问题法⒄计算法⒅解析法(19)复数法(20)三角法(21)极坐标法（22)四点共圆法（23）构图法（24）传递法（25）全等三角形法（26）等腰三角形法（27）平行四边形法（28）相似三角形法（29）三角形中位线法（30）定值问题的证明方法①特殊位置探求法②计算探求法（3）极值问题的证明方法①三角形法②极值定理法③代数法④三角法2.作图题的作法①交轨法②三角形奠基法③平移法④对称法⑤旋转法⑥放缩法⑦延长线法⑧角弧法⑨游移切线法⑩辅助圆法⑾面积割补法⑿比例线段法⒀代数法⒁变更问题法⒂逆序法⒃伸缩进退法3.计算题的解法①公式法②等量替换法③列解方程法④比例线段法⑤三角法⑥解析法⑦面积割补法（四）平面三角问题的解法1.三角函数的计算方法①定义法②公式法③代入法④综合法⑤“1”的代换法⑥平方公式法⑦赋值法⑧构造法2.三角等式的证明方法①定义法②分析法③综合法④相消法⑤数学归纳法⑥化为两弦法⑦“1”的代换法⑧降幂法⑨比较法⑽反三角运算法⑾复数法⑿边角互换法⒀直推法⒁代入法⒂消元法⒃换元法⒄构造法3.三角不等式的证明方法①比较法②单位圆法③万能代换法④极值法⑤公式法⑥构造方程法⑦构造图形法⑧反证法⑨数学归纳法4.三角作图题的作法①描点法②几何法③变换法5.三角方程的解法①变量代换法②因式分解法③引用辅助角法④万能置换法⑤化为两弦法⑥消元法⑦相除法⑧取三角函数法（五）立体几何问题的解法1.计算题的解法①定义法②计算法③判别式法④体积法⑤割补法⑥三角法⑦穷举寻径法2.证明题的证法①定义法②分析法③综合法④反证法⑤体积法⑥构造法⑦三角法⑧参数法（六）平面解析几何问题的解法1.求曲线方程的方法①定义法②直译法③待定系数法④平面几何法⑤转移法⑥交轨法⑦参数法⑧极坐标法⑨复数法⑩韦达定理法⑾消去法2.作图题的作法①描点法②简便描点法③平方法④分段讨论法⑤移轴法3.计算题的解法①基本公式法②定义法③判别式法④解方程组法⑤配方法⑥三角法⑦韦达定理法⑧平面几何法⑨不等式法⑩复数法4.证明题的证法①基本公式法②定义法③权几何法④参数法⑤极坐标法⑥三角法⑦曲线系法⑧集项法⑨列解方程组法⑩韦达定理法（七）集合问题的解法1.集合的表示法①字母表示法②列举法③特性表示法④文氏图表示法⑤函数图象表示法2.集合的运算与集合等式的证明方法①定义法②公式法③文氏图法④函数图象法（八） 初等微积分问题的解法1.求极限问题的解法①四则运算法②函数值法③两个重要函数极限公式法④无穷小分离法⑤有理化法⑥约分――通分法⑦无穷小性质法⑧三角公式法⑨换元法⑩等价无穷小法⑾夹挤法⑿实数连续性公理法⒀双侧极限法⒁微 分中值公式法⒂定积分法⒃积分中值公式法⒄斯笃兹定理法⒅洛比达法则法⒆泰勒公式法2.求导数问题的解法①定义法②直接求导法③逐层求导法④对数恒等式法⑤两边取对数法⑥隐函数求导法⑦参数方程法⑧莱布尼兹法3.求不定积分问题的解法①直接积分法②第一换元法（“凑微分”法）③第二换元法④分部积分法⑤递推公式法⑥分项分式法⑦配方添项凑微法⑧欧拉代换法⑨万能代换法⑩多次代换法⑾积分表法4.求定积分问题的解法①定义法②基本公式法③换元法④分部积分法⑤函数奇偶性质法5.证明题的证法?①定义法②反证法③微分中值定理法④积分中值定理法⑤换元法⑥保号性定理法（九）逻辑代数问题的解法1.二进制数的计算方法2.二进制数与十进制数的互化方法①二除取余法②二乘取整法3.逻辑式的运算方法①真值表法②公式法③对偶法④反演法4.逻辑等式的证明方法①真值表法②部分真值代入法③公式法④对偶法⑤反证法（十）概率统计问题的解法1. 复杂事 件的 分解 法①直译法②分步分解法③等价事件法④两次求逆法2.概率的计算方法①古典定义法②公式法③二项概率法④概率分布法⑤切比雪夫不等式法⑥极限定理法3.随机变量的分布问题的解法（1）分布函数、分布列及分布密度的判定方法（2）分布函数、分布列及分布密度中所含待定常数的确定方法（3）求离散型随机变量的概率分布的方法①古典概型法②直接法③辅助事件法（4）分布列或分布密度与分布函数的互求方法①累加法②邻值相减法③求积法④求导法（5）求随机变量函数的分布的方法①等价事件法②分布函数法4.求随机变量的期望与方差的方法（1）求随机变量的期望的方法①定义法②典型分布法③函数期望公式法④运算性质法⑤构造法（2）求随机变量的方差的方法①定义法②简便公式法③典型分布法④运算性质法⑤构造法5.参数估计问题的解法（1）期望与方差的点估计问题的解法①顺序统计量法②矩估计法③极大似然估计法（2）估计量优良性的判断方法（3）期望与方差的区间估计方法①u估计法②t估计法③x2估计法6.假设检验的方法①u－检验法②t－检验法③x2－检验法7.回归分析方法①最小二乘法②F－检验法③t－估计法④预报限反求法（十一）初等数论问题的解法1.基础问题的解法（1）倍数判别问题的解法①数字和法②末位数字法③末两位数法④隔位法⑤三位一组求和法⑥三位一组求差法⑦商数余数相加法（2）质数判别问题的解法①试除法②筛法（3）因数分解的方法（4）最大公因数的求法①因数分解法②辗转相除法（5）最小公倍数的求法①因数分解法②最大公因数法2.简单问题的解法①因数分解法②奇数偶数分类法③剩余类分类法④因式分解法⑤二项式定理法⑥数字法⑦数学归纳法⑧反证法⑨抽屉法3.综合问题的解法①因数分解法②逐个检查法③公倍数法④奇数偶数分类法⑤剩余类分类法⑥反证法⑦解不定方程法⑧抽屉法（十二）标准化试题的解法①直接法②筛选法③图象法④特殊值法⑤反推法附：本书主要参考文献
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