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高考数学复习点拨：统计问题典例赏析
统计问题典例赏析江苏　　　王兴发例1 近几届奥运会男、女1500米速滑的冠军成绩分别如下所示：（1） 分别求出男、女1500米速滑的冠军成绩的平均数和中位数；（2） 分别求出男、女1500米速滑的冠军成绩的标准差；（3） 通过（1）（2）的计算，请用自己的语言描述近几届奥运会男、女1500米速滑的冠军成绩分别有什么特点．解：为了运算方便，可以先将数据化成以秒为单位的形式进行计算，再将计算结果化成原有单位的形式．（1）近几届奥运会男子1500m速滑冠军成绩的平均数和中位数分别是，；女子的平均数和中位数分别是，；（2）近几届奥运会男、女1500m速滑冠军成绩的标准差分别是，；（3）从上面的计算结果我们不难得出：近几届奥运会男子速滑的冠军成绩相比女子成绩优异而且比较稳定．例2　公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求．为此，公交公司在某站台随机调查了80名乘客，他们的候车时间如下所示（单位：分）：17
28　5　34　725　18　28　1　15　31　12　11　10　16　12　9
10　13　19　1012　12　16　22　17　23　16　15　16　11　9　3
13　2　18　2219　9　23　28　15　21　28　12　11　14　15　3
11　6　2　1825　5　12　15　20　16　12　28　20　12　28　15
8　32　18　9（1） 将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率折线图；（2） 这80名乘客候车时间的平均数是多少？标准差呢？（3） 你能为公交公司提出什么建议？解：频率分布直方图如下所示：频率折线图如下所示：（2）这80名乘客候车时间的平均数是15.475min，标准差约是7.5．（3）公交公司可以适当增加公交车的数量．高中数学概率与统计教学存在的问题分析
高中数学概率与统计教学存在的问题分析
学习啦【统计学】 编辑：宁静
　　进入高中阶段学生要进行更加深入的数学学习，因此较之于以前的数学学习，学生会明显发现高中数学比较抽象，因此部分学生会觉得高中数学与实际生活的联系不密切。高中数学由多个板块构成，其中概率与统计是高中数学的一个重要构成板块，同时也是高中数学诸板块中与实际联系最密切的部分。本文就目前高中数学概率与统计部分课堂教学中存在的问题进行分析，并提出有效的应对措施，一方面更好的提升学生的综合数学素质，另一方面通过该部分的学习提高学生将理论知识与实际结合起来的意识与能力。
　　一、高中数学概率与统计教学中存在的问题分析
　　2003年5月出台的《普通高中课程标准》提出要将概率与统计成为了高中数学课程的必修内容，并提出明确的要求、说明与建议。在我国， &概率统计&内容从几进几出到如今作为《标准》中的必修内容，这既是信息时代对数学教学的要求，又是数学新课程发展的必然。可见概率与统计部分在高中数学课堂教学中占有重要地位，为了更好的促进该模块的教学，本人结合实际的教学经验对存在于教学中的问题展开论述。
　　(一)对概率与统计模块教学的重要性没有引起高度重视
　　高中数学由众多板块组成，概率与统计虽然是一个独立的知识板块，但是在数学的组成板块中相对较简单，不管是学生对理论知识的学习，还是在做题的过程中，较之于其他板块都会明显感觉轻松。而也正是由于该板块的理解难度不大，因此教师在教学思想上才出现懈怠，通常会花费较少的时间讲解章节知识。虽然该部分理论知识相对简单，但是如果考察学生的综合素质，那么，题目还是有一定的难度，因此教师思想上的懈怠会影响到学生学习的有效性。
　　(二)不能有效培养学生的数学思想
　　通过概率学生能够预测事情发生的可能性，而统计的重要特征之一就是通过部分数据来推测全体数据的性质，因此学生在学习高中数学概率与统计的时候，不仅要掌握一定的运算技能，还要形成一种认识事物的思想与能力。但是目前高中数学概率与统计部分的教学，只注重提升学生运用定理进行计算的能力，而没有注重培养学生的数学思想，这就导致学生只会计算，而难以运用学习过的知识去解决实际生活中的问题。
　　(三)不注重将概率与统计教学与实际生活结合起来
　　不管学习哪一学科，最终目的都是为了引导学生更好的认识世界并改造世界，不断促进人类社会的发展。翻开高中数学教材概率与统计部分我们不难发现，不管是对定理与定义的解释，还是具体的练习题目，教材都是通过生活中的例子展开的。但是教师在教学的时候却难以进一步将理论知识的教学与实际生活结合起来。例如：在学习概率这一知识点的过程中，教材上通常列举&某人&被抽到的概率，而教师在教学的过程中依然沿用教材上的例子，却不能列举生活中的一些其他例子，这样就难以使学生的思维得到开拓，同时也难以提生学生对理论知识的应用意识。
　　(四)不注重培养学生的应用意识
　　就高中数学各章节的知识点而言，概率与统计部分与实际生活的联系最为密切，同时，也是日常生活中人们经常遇到的多种现象的真实写照。学生只有学习好这一章节的知识点，才能更好地将知识点运用到实际生活中去。而目前高中概率与统计教学的主要目的是为了使学生更好的应对高考，不断提升学生的得分率，因此教师的教学没有联系实际，最终不仅影响了学生应用意识的提升，而且影响了学生应用能力的提升。
　　二、应对高中概率与统计课堂教学中存在问题的有效措施
　　(一)对概率与统计板块的教学引起重视
　　虽然该板块的知识相对比较容易理解，但是教师在教学的过程中也要引起重视，从高考的角度来讲，该板块在高考中占有重要分值，该部分知识既出现在选择题中，又出现在填空题中，同时还有一道大题，因此，在理论知识简单、学生容易掌握的基础上，教师更应该对该板块的教学引起重视，提高学生的得分率，进而提高学生的整体成绩。从实践的角度来讲，我们也应该对该板块的教学引起重视，在日常生活中学生常会遇到与概率和统计相关的问题，教师对该板块的教学引起重视，才能提升学生解决实际问题的能力。
　　(二)通过该板块教学培养学生的数学思想
　　学生在高中阶段的数学学习是在理论知识的引导下进行计算，因此教师在教学的过程中一方面要对学生进行理论知识的教学，另一方面还要提升学生的计算能力。然而，在实际的教学中，却很少有教师对学生进行数学思想的教学。随着现代教学的不断发展，教师不仅要肩负起对学生进行知识与计算能力教学的任务，而且要肩负起对学生进行数学思想培养的使命，使学生在分析问题与处理问题的能力能够在数学思想的引导下进行。
　　(三)将概率与统计板块的教学与实际生活结合起来
　　虽然该板块的理论知识相对简单，但是想要使学生更好的进行知识点的理解，依然需要教师在教学的过程中降低学生的理解难度。教师如果能够将概率的理论知识的教学与实际生活结合起来，不仅能够提升学生理论联系实际的能力，而且还能够使学生更好的体会到进行数学学习的实际意义。
　　(四)培养学生的数学应用意识
　　就高中的各知识板块而言，概率与统计部分是培养学生的数学应用意识的关键章节。进入高中阶段，学生经常会感觉数学学习与实际生活的联系不密切，因此，有些学生就甚至出现了数学学习无意义论。通过概率与统计部分的学习，教师应该有效培养学生的应用意识。本人在实际的教学中，通常通过将实际生活中的例子运用于课堂教学来启发学生将理论知识运用于实际生活的意识与能力。例如在讲解小概率事件时，就举买彩票这一常见的社会现象，由于中奖的概率太小，因此中大奖几乎是不可能事件。学生一旦形成了数学应用意识，生活中遇到的很多问题就能够迎刃而解。
　　概率与统计是两门与日常生活紧密相连的知识板块。因此，教师在讲授这个知识点的时候应使学生体会到概率与统计的基本思想，要注重提供现实的情境，重视统计与概率在日常生活和科学领域的应用。本文对目前高中数学概率与统计课堂教学中存在的问题进行了阐述，并提出了有效的应对措施，希望对教师的教学有一定的启发，更好的提升课堂教学的有效性。
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2016届高考数学—“大题规范解答——得全分”系列之(十)
概率与统计的综合问题答题模板
概率与统计是高中数学的重要学习内容，在高考试卷中，每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含概率计算，统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，注重考查基础知识和基本方法；以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算。
[典例] (2012辽宁高考改编·满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？
(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育
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【人教版】数学必修三《统计综合问题》课后练习(含答案)
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你可能喜欢统计与概率的那些概念；（一）统计1、众数；一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的；2、中位数；一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当；求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数；反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标；s?；1n；[(x1?x)?(x2?x)???(xn?x)]；222；例题分析：；【11年江西卷文】7.为
统计与概率的那些概念
（一）统计 1、众数
一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数。
众数的特点 ①众数在一组数据中出现的次数最多；②众数反映了一组数据的集中趋势，当众数出现的次数越多，它就越能代表这组数据的整体状况，并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。
一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。 3、平均数
求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广。 4、方差和标准差
反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用s表示.假设样本数据x1，x2，?，xn的平均数为x， s2为方差。s越小则样本数据波动越小。
[(x1?x)?(x2?x)???(xn?x)]
例题分析：
【11年江西卷文】7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则（
B.me?mo? C.me?mo?
解析：计算可以得知，中位数为5.5，众数为5所以选D
【11年江苏卷】6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s?___
解析：方法一：可以先把这数都减去6再求方差，s?
方法二：先求平均数，再求方法。
（08上海卷9）已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是
10.5和10.5
（2012江西理）9.样本（x1,x2,?,xn）的平均数为x，样本（y1,y2,?ym）的平均数为
y1,y2,?ym）y(x?y)，若样本（x1,x2,?,xn，的平均数z?ax?(1?a)y，其中0???
则n,m的大小关系为
D．不能确定
（2006年江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为
（D）4 解： 由平均数公式为10，得?x?y?10?11?9
?10,则x?y?20；又由于方差为2，
则??x?10???y?10???10?10???11?10???9?10????2得 ??5
2xy=192，所以有
?4，故选（D）
茎叶图又称“枝叶图”，由统计学家约翰托奇设计，它的思路是将数组中的数按位数进行比较， 将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少。
例题分析：（2012陕西文）3.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是 （
） A．46，45，56
B．46，45，53 C．47，45，56
D．45，47，53
【11年北京卷理科】17．本小题共13分
以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。
（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
6、抽样方法 简单随机抽样：
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（nQN），如果每次抽取式总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做。
（1）抽签法
一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。
（2）随机数法
随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。
分层抽样:(高考重点考察分层抽样)
主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中的个体有明显差异。共同点：每个个体被抽到的概率都相等N/M。
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样（stratified sampling）。
当总体中的个体数较多时，采用简单随机抽样显得较为费事。这时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样。
例题分析：（2012浙江文）11.某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法
从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________ （2010重庆文数）（5）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为
（D）35 解析：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7:5:3，所以样本容量为
（2010四川文数）（4）一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是
（A）12,24,15,9
（B）9,12,12,7
（C）8,15,12,5
（D）8,16,10,6 【解析】
故各层中依次抽取的人数分别是
（2010福建文数）14． 将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图。若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于
【解析】设第一组至第六组数据的频率分别为2x,3x,4x,6x,4x,x，则
2x?3x?4x?6x?4x?x?，解得x?
故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60。 ??
(2012江苏卷）2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，现用分层抽样的方法
，所以前三组数据的频率分别是
从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取
名学生． 7、频率分布直方图（或频数分布直方图）
在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图。（在图中，各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1）
把全体样本分成的组的个数称为组数。每一组两个端点的差称为组距。落在不同小组中的数据个数为该组的频数。各组的频数之和等于这组数据的总数。频数与数据总数的比为频率（总频率=各组频率之和，且它的值为1）。频率大小反映了各组频数在数据总数中所占的份量。
从频率分布直方图可以求出的几个数据：
频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标 。
平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和。
中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标。 各组的频率：相应矩形的面积 画直方图的步骤
1．找出所有数据中的最大值和最小值，并算出它们的差（极差）。
2．决定组距和组数。
3．确定分点。
4．将数据以表格的形式列出来。
5．画频数分布直方图。
例题分析：
（2006年全国卷II）13一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所
得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［）
（07广东理）
6．图l是某县参加2007年高考的 学生身高条形统计图，从左到右 的各条形表示的学生人数依次记 为A1、A2、?、Am(如A2 表示身高(单位：cm)在[150， 155)内的学生人数)．图2是统计 图l中身高在一定范围内学生人 数的一个算法流程图．现要统计 身高在160～180cm(含160cm，180cm)的学生人
数，那么在流程图中的判断框内写的条件是
D．i?6 （2010北京理数）（11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a＝
。若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为
。 答案：0.030
【11年重庆卷文】4．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）
134 则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为 A．0.2 B．0.3 8、最小二乘法求线性回归方程 最小二乘法求线性回归方程系数公式
（07广东理）17．(本小题满分12分)
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)
与相应的生
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