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新课标高中数学人教A版优秀教案——基本初等函数.doc 98页
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备课资料［备用习题］
1.以下各式中成立且结果为最简根式的是(
2.对于a&0,r,s∈Q,以下运算中正确的是(
A.ar·as=arsB.(ar)s=ars
C.()r=ar·bs
D.arbs=(ab)r+s
3.式子成立的充要条件是(
A.≥0B.x≠1
分析：方法一:
要使式子成立,需x-1&0,x-2≥0,即x≥2.
若x≥2,则式子成立.
从而x≥2是式子成立的充要条件.故选D.
对A,式子≥0连式子成立也保证不了,尤其x-2≤0,x-1&0时式子不成立.
对B,x-1&0时式子不成立.
对C,x&1时无意义.
4.化简(1＜b&2).
解：==-1(1&b&2).
两边立方得x3=2++2+3(),即x3=4-3x,x3-3x+4=0.∴(x-1)(x2+x+4)=0.
∵x2+x+4=(x+)2+&0,
∴x-1=0,即x=1.
基本初等函数（Ⅰ）
教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体的函数模型解决一些实际问题.
本章总的教学目标是:了解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=ax的符号及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）,通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型;理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用;通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=logax的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）;知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a＞0,a≠1）,初步了解反函数的概念和f-1(x)的意义;通过实例了解幂函数的概念,结合五种具体函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x的图象,了解它们的变化情况.
本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质,要在理解定义的基础上,通过几个特殊函数图象的观察,归纳得出一般图象及性质,这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法.把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点.
教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情境创设.在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数的有关内容作了比较,让学生体会两种函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想.建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展.教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,并且安排的顺序向后调整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加学生的学习负担.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能.教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.
本章教学时间约需14课时,具体分配如下（仅供参考）
指数函数约6课时对数函数约6课时幂函数约课时本章复习约课时2.1
指数与指数幂的运算
我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂.
教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中
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高中数学 (2.1 对数与对数运算 第1课时)示范教案 新人教A版必修1
对数函数2.2.1
对数与对数运算整体设计教学分析我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 三维目标1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的技能;运用对数运算性质解决有关问题.培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质；让学生经历并推理出对数的运算性质;让学生归纳整理本节所学的知识.3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性.重点难点教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用. 教学难点:对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用.课时安排3课时教学过程第1课时
对数与对数运算(1)导入新课思路1.1.庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.（1）取4次,还有多长？（2）取多少次,还有0.125尺？2.假设2002年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？抽象出：1.(x141x)＝？()＝0.125?x=? 222.(1+8%)=2?x=?都是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.思路2.我们前面学习了指数函数及其性质,同时也会利用性质解决问题,但仅仅有指数函数 1
还不够,为了解决某些实际问题,还要学习对数函数,为此我们先学习对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕. 推进新课 新知探究 提出问题(对于课本P572.1.2的例8)x①利用计算机作出函数y=13×1.01的图象.②从图象上看,哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿?? ③如果不利用图象该如何解决,说出你的见解？ 即18x20x30x=1.01,=1.01,=1.01,在这几个式子中,x分别等于多少？131313④你能否给出一个一般性的结论?活动：学生讨论并作图,教师适时提示、点拨.对问题①,回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点.对问题②,图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点,当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标.对问题③,定义一种新的运算.对问题④,借助③,类比到一般的情形. 讨论结果：①如图
图2-2-1-1②在所作的图象上,取点P,测出点P的坐标,移动点P,使其纵坐标分别接近18,20,30,观察这时的横坐标,大约分别为32.72,43.29,84.04,这就是说,如果保持年增长率为1个百分点,那么大约经过33年,43年,84年,我国人口分别约为18亿,20亿,30亿.18x20x30x=1.01,=1.01,=1.01,在这几个式子中,要求x分别等于多少,目前我们没学这1313131818x种运算,可以定义一种新运算,即若=1.01,则x称作以1.01为底的的对数.其他的可1313③类似得到,这种运算叫做对数运算.④一般性的结论就是对数的定义:x一般地,如果a(a&0,a≠1)的x次幂等于N,就是a=N,那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 有了对数的定义,前面问题的x就可表示了: x=log1.01201830,x=log1.01,x=log1.01.
131313如：2例
4=16?2=log416;10=100?2=log?22121-2=log42;10=0.01?-2=log100.01 2提出问题①为什么在对数定义中规定a&0,a≠1?②根据对数定义求loga1和logaa(a&0,a≠1)的值.③负数与零有没有对数?④alogaN=N与logaa=b(a&0,a≠1)是否成立? b讨论结果：①这是因为若a＜0,则N为某些值时,b不存在,如log（－2）1; 2若a=0,N不为0时,b不存在,如log03,N为0时,b可为任意正数,是不唯一的,即log00有无数个值;若a=1,N不为1时,b不存在,如log12,N为1时,b可为任意数,是不唯一的,即log11有无数个值.综之,就规定了a＞0且a≠1.②loga1=0,logaa=1.0因为对任意a&0且a≠1,都有a=1,所以loga1=0.同样易知：logaa=1.即1的对数等于0,底的对数等于1.b③因为底数a＞0且a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b∈R,a＞0恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数.④因为a=N,所以b=logaN,a=aabbbbblogaN=N,即aalogaN=N. =N叫对数恒等式) 因为a=a,所以logaa=b.故两个式子都成立.(aalogaN思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解,但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用,你们知道是哪两类吗?活动：同学们阅读课本P68的内容,教师引导,板书.解答：①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N的常用对数log10N简记作lgN.例如：log105简记作lg5;log103.5简记作lg3.5.②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.718 28??为底的对数,以e为底的对数叫自然对数,为了简便,N的自然对数logeN简记作lnN.例如：loge3简记作ln3;loge10简记作ln10.应用示例思路1例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式：（1）5=625;（2）2=4-611m;（3）()=5.73; 643(4)log116=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.2活动：学生阅读题目,独立解题,把自己解题的过程展示在屏幕上,教师评价学生,强调注意的问题.对（1）根据指数式与对数式的关系,4在指数位置上,4是以5为底625的对数.3
对（2）根据指数式与对数式的关系,-6在指数位置上,-6是以2为底对（3）根据指数式与对数式的关系,m在指数位置上,m是以对(4)根据指数式与对数式的关系,16在真数位置上,16是1的对数. 641为底5.73的对数. 31的-4次幂. 2对(5)根据指数式与对数式的关系,0.01在真数位置上,0.01是10的-2次幂.对(6)根据指数式与对数式的关系,10在真数位置上,10是e的2.303次幂.解：（1）log5625=4;（2）log21=-6;（3）log15.73=m; 643（4）(1-4-22.303)=16;(5)10=0.01;(6)e=10. 2思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题?活动：学生考虑指数式与对数式互化的依据,回想对数概念的引出过程,理清对数与指数幂的关系,特别是位置的对照.解答：若是指数式化为对数式,关键要看清指数是几,再写成对数式.若是对数式化为指数式,则要看清真数是几,再写成幂的形式.最关键的是搞清N与b在指数式与对数式中的位置,千万不可大意,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据.变式训练课本P64练习
1、2.例2求下列各式中x的值:（1）log64x=?2;（2）logx8=6; 32（3）lg100=x;（4）-lne=x.活动：学生独立解题,教师同时展示学生的作题情况,要求学生说明解答的依据,利用指数式与对数式的关系,转化为指数式求解.?6?(?)21-43解：（1）因为log64x=-,所以x=643=(2)=2=. 31622（2）因为logx8=6,所以x=8=2=(2).因为x&0,因此x=2. 636（3）因为lg100=x,所以10=100=10.因此x=2.22-x2（4）因为-lne=x,所以lne=-x,e=e.因此x=-2.点评：本题要注意方根的运算,同时也可借助对数恒等式来解.变式训练求下列各式中的x：①log4x=x213;②logx27=;③log5（log10x）=1. 2411解：①由log4x=,得x=42=2; 23②由logx27=,得x4=27,所以x=273=81; 44 34
③由log5（log10x）=1,得log10x=5,即x=10.点评：在解决对数式的求值问题时,若不能一下子看出结果,根据指数式与对数式的关系,首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果.思路2例1以下四个命题中,属于真命题的是（
）（1）若log5x=3,则x=15
（2）若log25x=若log5x=－3,则x=51,则x=5
（3）若logx5=0,则x=5
（4）21 125A.（2）（3）
B.（1）（3）
C.（2）（4）
D.（3）（4）活动：学生观察,教师引导学生考虑对数的定义.对数式化为指数式,根据指数幂的运算性质算出结果.3对于（1）因为log5x=3,所以x=5=125,错误;1对于（2）因为log25x=,所以x=252=5,正确; 2对于（3）因为logx=0,所以x=,无解,错误;对于（4）因为log5x=－3,所以x=5=-3011,正确. 125总之（2）（4）正确.答案：C点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据.例2对于a＞0,a≠1,下列结论正确的是（
）22（1）若M=N,则logaM=logaN
（2）若logaM=logaN,则M=N
（3）若logaM=logaN,则M=N22（4）若M=N,则logaM=logaNA.（1）（3）
B.（2）（4）
D.（1）（2）（4）活动：学生思考,讨论,交流,回答,教师及时评价.回想对数的有关规定.对（1）若M=N,当M为0或负数时logaM≠logaN,因此错误;对（2）根据对数的定义,若logaM=logaN,则M=N,正确;22对（3）若logaM=logaN,则M=±N,因此错误;22对（4）若M=N=0时,则logaM与logaN都不存在,因此错误.综上,（2）正确.答案：C点评：0和负数没有对数,一个正数的平方根有两个.例3计算：(1)log927;(2)log81;(3)log(2?)(2-3);(4)log354625.活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,学生展示自己的解题过程,教师及时评价学生.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值,首先设成对数式,再转化成指数式或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法.5
解法一：(1)设x=log927,则9=27,3=3,所以x=xx2x33; 2(2)设x=log81,则()=81,3=3,所以x=16; 4x4(3)令x=log(2?x3)(2-)=log(2?-13)(2+), -1所以(2+)=(2+3),x=-1;(4)令x=log625,所以(354)=625,5x=5,x=3. x434354解法二：(1)log927=log93=log99=(2)log4381=log43()=16; 16323; 2(3)log(2?(4)log)(2-)=log(2?3)(2+)=-1; -154625=log54(54)=3.点评：首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果,对数的定义是转化和对数恒等式的依据.变式训练课本P64练习
3、4.知能训练1.把下列各题的指数式写成对数式:(1)4＝16;（2）3=1;（3）4＝2;（4）2＝0.5;(5)5=625;(6)3=20xx4-211-2;(7)()=16. 94解：(1)2＝log416;(2)0＝log31;(3)ｘ＝log4２;(4)ｘ＝log20.5;(5)4=log5625;(6)-2=log31;(7)-2=log116. 942.把下列各题的对数式写成指数式:(1)ｘ＝log527;(2)ｘ＝log87;(3)ｘ＝log43;(4)ｘ＝log7(5)log216=4;(6)log127=-3;(7)log31; 33x=6;(8)logx64=-6;(9)log)log327=a.解：(1)5＝27;(2)8＝７;(3)4＝3;(4)7＝=x;(8)x=64;(9)2=128;(10)3=27.3.求下列各式中x的值:(1)log8x=?-67axxxx11-346 ;(5)2=16;(6)()=27;(7)(3)3332;(2)logx27=;(3)log2（log5x）=1;(4)log3（lgx）=0. 436
??3?(?)23-21解：(1)因为log8x=?,所以x=83=(2)3=23=2=; 432223334(2)因为logx27=,所以x4=27=3,即x=(3)3=3=81; 4(3)因为log2（log5x）=1,所以log5x=2,x=5=25;1(4)因为log3（lgx）=0,所以lgx=1,即x=10=10.4.(1)求log84的值;2m+n(2)已知loga2=m,loga3=n,求a的值.解：(1)设log84=x,根据对数的定义有8=4,即2=2,所以x=mnx3x223422,即log84=; 33(2)因为loga2=m,loga3=n,根据对数的定义有a=2,a=3,2m+nm2n2所以a=(a)?a=(2)?3=4×3=12.点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化,还涉及到常见的幂的运算法则的应用. 拓展提升请你阅读课本75页的有关阅读部分的内容,搜集有关对数发展的材料,以及有关数学家关于对数的材料,通过网络查寻关于对数换底公式的材料,为下一步学习打下基础.课堂小结(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特殊的对数.作业课本P74习题2.2A组
1、2.【补充作业】1.将下列指数式与对数式互化,有x的求出x的值.（1）5?12=1;（2）log24=x;（3）3=x1; 27（4）(1x5)=64;（5）lg0.000 1=x;（6）lne=x. 4?12解：（1）5=1化为对数式是log51=?1; 2x22（2）x=logx4化为指数式是(2)=4,即2=2,2xx=2,x=4; 2（3）3=1113-3x化为对数式是x=log3,因为3=()=3,所以x=-3; 27273（4）(1x1x3)=64化为对数式是x=log164,因为()=64=4,所以x=-3; 444xx-4（5）lg0.0001=x化为指数式是10=0.0001,因为10=0.000 1=10,所以x=-4;5x5x5（6）lne=x化为指数式是e=e,因为e=e,所以x=5.7
2.计算3log3?log315的值.1111x1x解：设x=log3,则3=,(32)=()2,所以x=log555所以33log3135. ?3log315=?3log15=?165. 5=3.计算a解：alogab?logbc?logcN(a&0,b&0,c&0,N&0). logbc?logcNlogab?logbc?logcN=b=clogcN=N.设计感想本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上,为了运算的方便,引进了对数的概念,使学生感受到对数的现实背景,它有着丰富的内涵,和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,鉴于这种情况,安排教学时,无论是导入还是概念得出的过程,都比较详细,通俗易懂,要反复练习,要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别,结合指数式理解对数式,强化对数是一种运算,并注意对数运算符号的理解和记忆,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务,为下一节课作准备.(设计者：路致芳)8
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