已知函数f x0f(X)log2((1-mx)/(...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-23 02:44 标签： 已知函数f x0
已知函数f(x)=(1/2^x-1 +1/2)*x^3 （1）求f（x）的定义域 （2）判断f（x）的奇偶性_百度知道
已知函数f(x)=(1/2^x-1 +1/2)*x^3 （1）求f（x）的定义域 （2）判断f（x）的奇偶性
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f(x)=(1/(2^x-1) +1/2)*x^3 分母不为零2^x-1不等于0即 x不等于0这就是定义域很显然定义域关于原点对称f(x)=(1/(2^x-1) +1/2)*x^3 =(2^x-1)/[2(2^x+1)]*x^3f（-x)=(1/(2^-x-1) +1/2)*-x^3 =(2^-x-1)/[2(2^-x+1)]*-x^3=f(x)所以 是偶函数
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解：（1）函数f(x) = log2 [(1 – mx)/(x – 1)]的图像关于原点对称，说明函数f(x)是奇函数，定义域关于原点对称，求f(x)的定义域：(1 – mx)/(x – 1) & 0 =& (1 – mx)(x – 1) & 0，所以当且仅当m = -1时，对应f(x) = log2 [(1 + x)/(x – 1)]，定义域是(-∞，-1)∪(1，+∞)，f(x)的图像关于原点对称，符合题意；（2）f(x)在(1，+∞)上单调递减。证明：f(x) = log2 [(1 + x)/(x – 1)]，x∈(1，+∞)，任取x1 ，x2 ∈(1，+∞)，而且x1 & x2 ，计算f(x2) – f(x1) = log2 [(1 + x2)/(x2 – 1)] – log2 [(1 + x1)/(x1 – 1)] = log2 {[(1 + x2)/(x2 – 1)] / [(1 + x1)/(x1 – 1)]} = log2 {[(x2 + 1)(x1 – 1)] / [(x2 – 1)(x1 + 1)]} = log2 [(x1x2 – x2 + x1 – 1) / (x1x2 + x2 – x1 – 1)]①，因为x1 & x2 ，x2 – x1 & 0 & x1 – x2 ，所以(x1x2 + x2 – x1 – 1) & (x1x2 – x2 + x1 – 1) & 0，所以(x1x2 – x2 + x1 – 1) / (x1x2 + x2 – x1 – 1) ∈(0，1)，进而log2 [(x1x2 – x2 + x1 – 1) / (x1x2 + x2 – x1 – 1)] ∈(-∞，0)，所以f(x2) – f(x1) = log2 [(x1x2 – x2 + x1 – 1) / (x1x2 + x2 – x1 – 1)] & 0，即f(x2) & f(x1)，可知f(x)在(1，+∞)上单调递减。
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f(x)是偶函数 则f(x)=f(-x)log2(1+x^4)-(1+mx)\(1+x^2)=log2[1+(-x)^4]-(1-mx)\[1+(-x)^2]即1+mx=1-mx在X是任意实数时成立即可，则m=0原函数为
f(x)=log2(1+x^4)-1\(1+x^2)
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