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由两道高考试题的研究引发的教学思考
发布时间: 10:11:06&&信息来源:苏州市教育科学研究院&&作 者:祁
平&&浏览次数:599 &&【
祁& 平（苏州市教育科学研究院）
2012年江苏高考数学卷最后二题（以下简称试题⒆、试题⒇）立意新，方法活，很好地体现了数学的思想方法，积极地体现了课改精神，对数学教学也起到了较好的引领作用。
对阅卷中的情况进行调研，发现考生对试题⒆的思考仅停留在问题的表象，对问题的研究缺乏方向感，答题卷上留下方法繁多，计算混乱的“局面”。考生对试题⒇的研究更是缺乏信心，绝大部分考生（包括平时优秀的一些学生）抓不住问题的本质，熟悉的递推数列在新的“环境”下变得陌生，许多考生不知所措，思维感到一片空白，“不知渡向何处？”同样，与高三数学教师交流发现，大家普遍感到试题⒆、⒇有新意，有难度，不易上手！
试题⒆、试题⒇）的研究，不仅使我发现了试题⒆、试题⒇充满鲜活的数学思想，灵动的方法引人入“景”、引人入胜，而且也引起了我对当前数学教学的思考。近7年数学教育在取得成绩的同时，我们要看到存在的问题与不足。比如我在文[1]中曾提到的一个遗憾：“优秀学生的数学能力、数学素质还不令人满意，思维的灵活性到哪里去了？” 又如，高密度的“例题”与高密度的“测试”符合理想的数学教学吗？再如，社会发展，人类进步所呼唤的数学教学究竟是什么？等等这些问题我们必须从灵魂深处来研究数学教学的本质。
1．试题的研究
1.1试题⒆的研究（巧用对称，合理转化）：
1.1.1试题⒆及命题组提供的参考答案：
试题⒆：如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为. 已知点和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率.
⑴求椭圆的方程；
⑵设，是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点.
(Ⅰ)若，求直线的斜率；
(Ⅱ)求证：是定值.
⑴所求椭圆的方程是（过程略）.
⑵由⑴知，又直线与平行，所以可设直线的方程为，直线的方程为. 设 由，得，解得，故.& ①
同理，.&&& ②
(Ⅰ)由①②得，解得，注意到，故. 所以直线的斜率为.
(Ⅱ)因为直线与平行，所以，于是，故. 由点在椭圆上知，从而. 同理. 因此，.
又由①②知，，所以. 因此，是定值.
&&& 优秀试题的“迷人的风光”应体现在对高层次理性思维的考查上，应给优秀考生留下深刻的印象，并影响他们未来的工作。下面是我对试题的研究与认识。
1.1.2我的研究：
设点的坐标为，点坐标为，直线倾斜角为，斜率为，如图，取点关于轴的对称点，显然 ，且，第一次想到对称，使我产生了美感，同时，使“松散的、的问题”转化为有联系的“与”的问题了。
果然发现更美的景色。由知，“反射情景”突然出现，延长交椭圆与，易证：与关于轴对称，点坐标为，，. 这是与课本上的“弦问题”相关联的，过焦点的弦问题也是高三复习教学中多次出现的问题。由知直线的倾角为锐角，所以，.
⑴由得： ，
化简得：&&& ①
&&&&& 所以：&&&& &&&②
由①②得：
（上面的方法是我的原创的思维过程。由此发现，可直接延长交椭圆与，易得线段、关于点中心对称。取对称点的过程可省略。）
⑵轴时，易猜得定值为.
由此，我们方向明确。刚才的研究（求斜率）提醒我们，在线段众多的问题中、是关键的量，将这些关键的量视作参数，努力发展这些量的“信息”，并大胆运用辅助参数（和），才能使复杂的问题转化为熟悉的弦问题。设，由及，得.
同理，由得
由“反射”图知：
& &&&&&&&③
& 即是方程的二根，由韦达定理得：
注：1. 联想对称，将问题转化为椭圆的过焦点的弦问题，其运算目标为由韦达定理将参数，化归为单一参数的计算问题，思路合理，方向明确。有趣的是，转化后出现的新问题情景在高二、高三学习时也遇到过。
2. 学生感到运算的复杂与艰难，根源在于“解题方向”模糊。
3. 下面的思路，解题方向明确，虽有一定的运算量，但运算过程合理、有序。
轴时，猜得，可猜想在椭圆上.
&& &证明：设
&&&&& 由& （已证为平行四边形）
&&&&& 即&&&&&&&& ④
&&&&& 得方程的二根为.
&&&&& 代入④
运用焦半径公式（包括建立极坐标系）等方法这里从略。
1.2试题⒇.⑵的研究（巧用“估计”，“数形”联想）：
试题⒇.⑵：已知各项均为正数的两个数列和满足：.
设 且是等比数列，求和的值.
参考答案：略
分析：求、困难时，缩小（或）、（或）的范围是常规思路，也是不定方程研究的常规思路.用方程求解困难时，联系“不等式”来思索问题，也应是常规思路.
“数形”结合是关键. 由于是等比数列，所以深度观察对称式，容易想到基本不等式，为正数，由此不难得到，或者想到，于是发现，联想“对称”式，是数学的基本能力.
发现，联想等比数列的图象，会使我们非常惊讶！因为发现时，应当强烈的联想到课本[2]P48页上由例3给出的图象，即时点的图象。由此得时，，与矛盾；同样想到时，与矛盾. 为此，，. “数形结合”的运用，使问题柳暗花明.
将代入得，也为等比数列，公比为，则将代入，得（发现可求），解得，即最多只有二个值. 即数列各项组成的集合最多只有二个元素！联想等比数列的图象，时，，则不成立，同理也不成立. 由此得，，，将，代入，得.
&& &注：上面的研究还告诉我们：得到关于的方程时，易知方程根最多二个.
此时，方程思想和集合的语言为我们展开了联想的翅膀。正如布特勒所说：“现代数学，这
个最令人惊叹的智力创造，已经使人类心灵的目光穿过无限的时间，使人类心灵的手延伸到无边
无际的空间”。数学是一种心灵的语言，忽视对数学概念内涵与外延的准确解读和有机运用，学
生就不可能掌握这“心灵的语言”，就必然缺乏思维的穿透力。另外，高密度的例题教学仅仅是
一种机械的思维训练，并不能增强问题研究的能力。杂乱的思维训练反而会影响数学学习兴趣，
并增强了学生对数学思考的“恐惧感”。
2．关于数学教学的思考
2.1新授课要紧扣课本，复习课要回归课本
2.1.1新授课的教学要紧扣课本。紧扣课本就是要求教学要特别重视基本概念和课本上的基本问题的研究。对数学的每一个概念，不仅要讲清它的意义，并且要理解课本上相应的例题、习题和复习题的学习价值。通过这些问题的教与学的活动，有机地让学生进一步理解新的概念，以及新概念与其它相近的数学概念的联系，让学生深刻认识每一个概念存在的价值，以及基于课本的对概念的发展而精心设计一个单元、一个章节的课堂教学，这是一种教学智慧。这是我们数学教学要追求的一种思想，一种艺术。比如，试题⒆中求的斜率问题，所用到的知识方法均在课本上。如课本[3]第51页上的复习题（第18、第21），若在新课教学中能加以很好的研究，并进行必要的联系与发展，而不是“一批了之”（简要批改、讲评），那么，学生不仅能加深对椭圆的基本概念的理解，同时也深刻地掌握了弦长的计算方法，并由此探索有关“弦长”的相关问题的研究方法。学生在考场上对试题⒆的研究就不会“无从下手”，就不会“无计可施”。重视课本上问题所体现的数学方法和数学思维的研究，才能更好地发挥教材的功能，才能更好地引导学生科学学习，才能引导学生在平凡的问题中发现更深刻更一般的数学内涵。反之，远离课本，忽视基础的能力的培养是脆弱的。发展知识，发展能力，就必须紧扣课本。
2.1.2高三复习教学必须回归课本。离开“基础”的教学设计，离开“基础”的教学活动，思维能力的培养必然是脆弱的。比如刚才提到的“弦问题”，教学中功利性的关注问题的“解决”，没能将问题的研究回归到课本。回归课本，就是回忆、唤醒以前学习的重点概念及基本问题，由此才能发现问题的本质，才能找到问题的源头（根），帮助学生展开有质量的联想。回归课本，就是要促进学生对数学概念的理解和发展。因为由概念引出的对产生新方法起到起始作用的联想，对发展学生的能力非常有效。否则，一连串的问题的教学，必定影响学生对数学本质的深刻认识。缺乏对数学本质的认识的教学难以提高学生的认识能力和创新能力，留下的是乏味的重复训练的机械式思维，这样的教学是一种无根的缺乏灵气的教学。“萍水相逢尽是他乡之客”就是最好的形容。比如试题⒇.⑵的研究，高三不等式复习教学中若注重回归课本，对必修（5）P94.14题等问题作简要的回顾和必要联系与发展，学生就会增强对“”的本质的认识，对试题⒇.⑵中的感知会在记忆的搜索与心理的刺激过程中联系到“”. 从而发现，进而联系到课本必修（5）[3]P48：“在例3中，等比数列的通项公式是一个常数与指数式的乘积。从图象上（图2-3-1），表示这个数列的各点（）均在函数的图象上”。强烈的图象信息，迅速获得. 有趣的是，试题20⑵在发现公比后，进而发现是公比为的等比数列，再次联想到等比数列的图象（必修5 P48 例3的图），由知组成的集合，最多只有二个元素，由此知的公比只能等于1. 即各点只能在直线上.
2.2解题教学要还思维空间给学生
“问题是数学的心脏”，解题教学是数学教学的核心内容。培养学生的思维能力是解题教学的灵魂。解题教学要还思维空间给学生，首先要重视教学目标的确定。由此进行的教学设计还必须研究要选哪几个例题（例题的量和例题的质的研究）？为什么要选这几个例题？学生会有什么反映？而学生的“反映”其落脚点在于学生的思维能力是否得到有效发展（主动发展）。近二个月调研了十多所高中学校，发现“72”小时现象：教师认真教学，学生学会了某问题的解题过程。三天之内，学生认识该问题的思路，但三天之后（72小时）学生在练习该问题（或类似问题）时，又处于茫然状态，解题思路混乱。
如问题：中，垂直平分，分别交、于、，为上任一点，求的值. 教师的教学片断：. &调研发现一些学生三天后，对该问题的解答茫然，出现思维混乱。其原因在于教学中教师没有还思维空间给学生——没有引导学生思考：为什么用代替，而不用其它向量代替？教师在预设时，认真研究“学生会有什么反映？”在讲评中教师才能有针对性的给学生留下一定的空间，促使学生在反思中学习，举一反三，触类旁通，积极创新。这样的教学能引起学生的深度思考，能促进学生的学习兴趣，能提升学生有效学习的质量。没有很好研究“学生会有什么反映？”的教学，其教学必然会“侵占”学生的“空间”。调研中发现，一些课堂例题偏多，尤其是高三教学中，大题量，，快节奏的教学，学生的思维空间越来越小！缺乏思维空间的数学教学，必然导致“学生的发现能力受到阻碍，学生的辨别能力逐步退化”。
其次，解题教学还思维空间给学生，要增强问题研究的方向和方法的讨论。比如，试题⒆.⑵的研究中是如何想到转化为“弦问题”的？方法的合理性在哪里？（努力克服方法的盲目性）。还思维空间给学生，就是要增强问题研究的方法选择的讨论？比如命题组提供的方法合理性在哪里？解题方向的确定和解题方法的确认是需要时间的。让学生训练解题方向的确定是需要设计的，这是教学智慧的高度体现。让学生训练解题方法的确认过程，也是需要预设的，同样这也是教师智慧的高度体现。这样的教育学生会一辈子受益。
还思维空间给学生，其教学价值取向还包括心理品质的培养。还思维空间给学生，才能更有效地培养学生“明智的克制和理智的诚实”心理品质，才能更有效地培养学生在逆境中冷静地分析问题的心理品质，才能更有效地培养学生把握全局，抓主要矛盾的主要方面，善于绕过障碍的心理品质。缺乏思维空间的问题研究，必然导致学生思维水平降低，依赖、“模仿”型学生增加，优秀学生的创新能力受到抑制。考卷上留下的“杂乱的过程”也就不足为怪了。教育应该是一种慢艺术，缺乏思维空间的学习，正如缺乏空气、缺乏水份的植物，哪会有郁郁葱葱的景色？我们必须从灵魂深处来研究数学教学的本质。
2.3“数学思想”不能停留在教学的表层上
近二十多年来，在徐利治先生等一些数学家的倡导下，中学数学教学越来越重视数学思想方法的渗透。《数学通报》等刊物也作了广泛的宣传，数学课程标准也起到了很好的引领作用。但调研中发现，数学思想方法的渗透仍停留在教学的表层上，其原因也是多方面的。
2.3.1数学思想方法的渗透，必须克服“贴标签”的现象
“取得最佳教育效果的方法就是掩盖教育意图”。所谓“贴标签”现象是指教师有“渗透数学思想方法”的观念，但缺乏深层次的理解，在教学中对“数学思想方法”只是“空洞的说教”或“形式化的一提了之”，其教学行为不是教师发自内心深处的教学理解。克服“贴标签”现象，教师必须深入学习和研究“课标”和“教材”，深入领会数学思想方法的内涵和意义，研究更贴近学生的更具有数学素质教育的教学方法。即数学思想方法的渗透能否拨动学生心灵深处的那 一根弦？能否引领学生触类旁通？能否引领学生积极创造？
克服“贴标签”现象，必须重视“解题方向和方法”的反思。“直觉思维当然很重要，但是在数学活动中，更重要、更高级的是反省思维”（斯普根，著名数学教育家），注重反思的教学能使学生真正抓住数学思维的内在本质，从而提升学生对数学思想方法的理解，并内化到数学学习中。数学思想方法的渗透必须强化对数学本质的研究，强化对数学本质的研究（包含对数学概念、问题的本质研究），有益于增进教师对数学思想方法的深入理解，由此影响教师的教学行为。比如，对集合概念本质的研究，会使我们深刻理解“集合是一种语言”的思想。上面提到的试题⒇.⑵的研究，正是由于我们运用集合的这一思想，才增强了对方程的认识，即增强了对的认识从而引发新的联想，即“等比数列的图象”的联想，使问题“峰回路转”。
克服“贴标签”现象，必须重视试题本质的研究。比如2010年江苏高考压轴题研究[4]，笔者将试题本质的研究，与数学思想方法的运用相结合，使研究过程从“由浅入深”到“深入浅出”，给出的解题思路不仅能与学生共鸣，而且能引领学生将数学思想方法贯穿于问题的整个研究过程，提升了学生研究问题、解决问题的能力！
2.3.2数学思想方法的渗透必须重视数学美的研究
试题⒆、⒇的研究中充分体现了化难为易、追求简单的思维方法。“简单就是美”，陈省身先生说过，数学的本质在于化繁为简，理性思维也是体现化繁为简的一个主要方面。由此呈现的理性思维必然深刻、自然地体现了数学的思想方法，同时也必定受到了数学美的启示。试题的研究中，我们受到了“对称美”、“图象的抽象美”等数学美的启示和引领，产生了丰富的联想，使思维既有逻辑性，又有跳跃性，从而帮助我们发现了将问题化难为易、化繁为简的方法。因此，教学中数学美的研究首先是你和学生交流的方法是否符合简单化原则。其次，在数学教学中，数学美的研究要关注如何使数学思想方法的渗透更为自然，这是数学教学研究要加以重视的课题。因为方法的自然，才能让学生真正感受到美的数学，并内化为对数学美积极追求的自觉行为。道法自然，这是数学教学永远要追求的准则。
从情感、直觉，尤其是审美的角度来认识数学美，对激发学生的学习热情和学习质量具有独特的意义。数学美对人的影响是广泛的。科学家狄拉克1956年在访问莫斯科大学时题词：“物理学定律必须具有数学美”。1974年狄拉克在哈佛大学演讲上又说：“学物理的人用不着对物理方程的意义操心，只要关心物理方程的美就够了”。数学美对人的影响是深远的。数学美的领悟，会引领学生正确运用数学思想方法，同样，数学思想方法的运用更为深刻、更加自然时，数学美总会伴随在学生的左右，并最充分地发展学生的想像力。试题⒆、⒇的研究又一次告诉我们：简单是真的标志，美是真理的光辉！
参考文献：
[1] 祁& 平.& 春风又绿江南岸——透视2005年江苏高考数学卷 [J].中学数学月刊2005.8
[2] 单& 墫.& 普通高中课程标准实验教科书——数学必修5
[3] 单& 墫.& 普通高中课程标准实验教科书——数学选修1-1
[4] 祁& 平.& 提升研究质量& 追求有效教学& [J].中学数学教参2010.8
[5] 祁& 平.& 新课程背景下数学教学的哲学思考& [J].数学通报2007.2
[6] 祁& 平.& 没有研究质量，就没有理想的教学质量 &[J].中学数学月刊2012.1
[7] 章建跃.& 数学教育改革中几个问题的思考& [J].数学通报2005.7
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发表人：&电子邮件：大家帮忙解一道数学题 要过程、思路和答案 谢~ (^-^) 本人在线等~, 大家帮忙解一道数学题 要过程、
大家帮忙解一道数学题 要过程、思路和答案 谢~ (^-^) 本人在线等~ 当乙车到达西站1小时后，甲车从西站，甲车也到达东站、乙车从东站同时同速相向而行，乙车以每小时比原速快10千米的速度继续行驶，结果，相遇后，甲车以原速东西两车站相距600千米，求甲、乙两车相遇后的速度 落叶Y_Y忧伤 大家帮忙解一道数学题 要过程、思路和答案 谢~ (^-^) 本人在线等~
X-300&#47,求两车的速度,舍去)50+10=60所以相遇后甲车的速度是50千米/小时,X1=50X+60=0
:乙车的速度比甲车的速度快10千米,X2=-60(不合题意,行驶300千米乙车比甲车少用1小时;(X+10)=1300X+X=X(X+10)X²+10X-3000=0(X-50)(X+60)=0X-50=0
,设甲车的速度为X,则乙车的速度为X+10300&#47根据题意可以把问题简单化,乙车的速度是60千米/小时
(X+10)+1=300&#47，所以相遇后各自再行300米300&#47,乙后来的速度为X+10，相遇时在中点，各行了300米;XX平方+10X-3000=0（X-5)（X+60）=0X=50X=-60答：原来的速度是50千米 &#47设原来的速度为X
在中间300千米相遇之后设甲速度V，则乙V+10，乙用时间t300=(v+10)t=v(t+1)得v=50
设原来速度为X千米/小时。原来是同速度的。所以是在中点相遇。所用的时间为300/X。所以甲相遇后到东站的时间也是300/X。乙车相遇后到西站的时间为300/（X+10）。乙车快一小时。所以有方程：300/（X+10）=300/X-1解得X=50所以甲车相遇后速度为50千米/小时；乙车相遇后的速度为60千米/小时。
设甲乙最初的速度为X小时/千米分析：因为甲乙最初是同时同速相向而行，相遇时，甲乙各自走300千米。
相遇后，甲的速度认为X小时/千米，乙的速度为(X+10)千米/小时
乙比甲先到一个小时。所以，根据时间关系得出方程式：300/（X+10）+1=300/X解得
x=50所以 甲的速度为50千米/小时
乙的速度为60千米/小时求解两道数学题，要思路和过程。急需！！！_百度知道
求解两道数学题，要思路和过程。急需！！！
售价都是3000元.：一家电脑专营店售出两台不同型号的电脑.假定同时通知3人要1分钟？第二道，先由教练同时通知3为队员再分别同时通知3位队员，为联络方便设计了这样一种联络方式，通知完全部队员至少要多少分钟。一旦有演出，且通知中不重复....，依此类推，其中旧型号的一台亏本20%第一道，总的来说是赚钱还是亏本，出售者两台电脑，新型号的一台赚了20%：社区秧歌队共有96人？（好不容易打上的
提问者采纳
然后这3个人再同时分别各通知3个人（也就是9个人）， 解得
y=2500元，新型号的电脑成本是y元，即新型号的电脑成本是2500元，得方程第一题。新型号的电脑赚了20%，设旧型号的电脑成本是x元，而总共售价是6000元，27个人同时各通知3个人是81个，总的来说成本是x+y=6250元，通知3个人。这样就很清晰的可以看出，需要1分钟：1+3+9+27是40个人，这个时候我们来看看一共通知了：（1+20%）y=3000 ：首先教练是1个人：这个是可以通过设方程来做出来的，但我们发现，再然后通知了27个人需要1分钟，所以亏本了250元，这个时候总共用了有教练通知花的1分钟+3个人通知花的1分钟+9个人通知花的1分钟+27个人通知花的1分钟一共是4分钟，即旧型号的电脑成本是3750元。第二题，解得
x=3750元，也就是先通知了3个人需要1分钟，也就是说27个人分别通知之后就会通知完全部的队员了：80%x=3000，需要1分钟……这是典型的等比数列的问题，然后通知了9个人需要1分钟。旧型号的电脑亏本20%后售价是3000元，还剩56个人没有通知，那么得方程
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谢谢你给我讲解！！
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3的1次方+3的2次方+3的3次方+3的4次方=120&96 所以传4次即可以传完 记4分钟设新的成本为x,旧的为y80%y=3000 y=3750120%x=3000 x=2500x+y= 所以亏的
3000÷（1+20%）=2500元（新型号的成本）3000÷（1—20%）=3750元（旧型号的成本）=750元（旧型号亏损的数额）=500元（新型号赚的数额）750—500=250元（总体亏损的数额）答：亏了，亏了250元
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