江苏省南通高中2013届高三数学小题校本作业(38)基本不等式及其应用_百度文库
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江苏省南通高中2013届高三数学小题校本作业(38)基本不等式及其应用
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江苏省范水高级中学高三第一轮复习训练题数学(11)(不等式2)
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专题3&不等式 江苏省震泽中学&&&&王利平 一、填空题 例1&已知集合A＝0，1，B＝a2，2a，其中a∈R.定义A×B＝{x|x＝x1＋x2， x1∈A，x2∈B}，若集合A×B中的最大元素为2a＋1，则a的取值范围是________． 解析　A×B＝{a2,2a，a2＋1,2a＋1}．由题意，得2a＋1＞a2＋1，解得0＜a＜2. 答案　(0,2) 例2&．设&则&三者的大小关系&&&&&&&&&&&&&&&& 解析&a=&2=&,&b=In2=&,而&,所以a&b, &&&&&c=&=&,而&,所以c&a,综上c&a&b. 答案&& 例3&．对于问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1,2)， &&&&&&解关于x的不等式ax2－bx＋c＞0”．给出如下一种解法： &&&&&&解　由ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1,2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c＞0的解集为(－2,1)， &&&&&&即关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(－2,1)． &&&&&&参考上述解法，若关于x的不等式kx＋a＋x＋bx＋c＜0的解集为－1，－13∪12，1，则关于x的不等式kxax＋1＋bx＋1cx＋1＜0的解集为________． 解析　不等式kxax＋1＋bx＋1cx＋1＜0可化为k1x＋a＋1x＋b1x＋c＜0，所以有1x∈－1，－13∪12，1， &&&&&&即x∈(－3，－1)∪(1,2)，从而不等式kxax＋1＋bx＋1cx＋1＜0的解集为(－3，－1)∪(1,2)． 答案　(－3，－1)∪(1,2) 例4&．设不等式组&所表示的平面区域是&,平面区域是&与&关于直线&对称,对于&中的任意一点A与&中的任意一点B,&&的最小值等于 &&&&&&&&&&&&& 解析&由题意知，所求的&的最小值，即为区域&中的点到直线&的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，& 可看出点（1，1）到直线&的距离最小，故&的最小值为 &。 答案&&4 例5&．若&，则下列不等式对一切满足条件的&恒成立的是&&&&&&&(写出所有正确命题的编号)． ①&；&&&&&&&&②&；&&&&③&&；& &④&；&&&&⑤& 解析&&令&，排除②④；由&，命题①正确； &，命题③正确；&，命题⑤正确。 答案&&①，③，⑤ 例6&．对任意x&0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________． 解析　∵xx2＋3x＋1≤a恒成立，∴a≥xx2＋3x＋1max，而xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3≤12x•1x＋3 ＝15(x&0)，当且仅当x＝1x时，等号成立，∴a≥15. 答案　a≥15 例7&．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________． 解析　由x2＋y2＋xy＝1，得(x＋y)2－xy＝1，即xy＝(x＋y)2－1≤x＋y24，所以34(x＋y)2≤1， 故－233≤x＋y≤233，当x＝y时“＝”成立，所以x＋y的最大值为233. 答案　233 例8&．已知&且&，则&的取值范围是_______（答案用区间表示） 解析&&画出不等式组&表示的可行域，在可行域内平移直线z=2x-3y，当直线经过x-y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，目标函数有最小值z=2×3-3×1=3；当直线经过x+y=-1与x-y=3的焦点A（1，-2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8. 答案&&（3，8） 例9&．当a&0且a≠1时，函数f(x)＝loga(x－1)＋1的图象恒过点A，若点A在直线mx－y＋n＝0上，则4m＋2n的最小值为________． 解析　易知f(x)恒过点(2,1)．由于(2,1)在mx－y＋n＝0上，则2m＋n＝1.又4m＋2n＝22m ＋2n≥222m＋n＝22，当且仅当m＝14，n＝12时等号成立． 答案　22 例10&．已知点P在直线x＋2y－1＝0上，点Q在直线x＋2y＋3＝0上，PQ中 &&&&&点M(x0，y0)满足y0＞x0＋2，则y0x0的取值范围是________． 解析　设y0x0＝k，则y0＝kx0.由题意，得x0＋2y0＋1＝0，y0＞x0＋2， 所以x0＝－11＋2k，k－1&#6，从而有1－k1＋2k＞2，即5k＋12k＋1＜0，解得－12＜k＜－15.所以y0x0∈ －12，－15. 答案　－12，－15 例11&．若不等式组&所表示的平面区域被直线&分为 面积相等的两部分，则&的值是&&&&&&&&&&&&& 解析&&不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC 由&得A（1，1），又B（0，4），C（0，&） ∴&△ABC=&，设&与&的 交点为D，则由&知&，∴& ∴&。& 答案&&&&&&&&&& 例12&．若不等式(－1)n－1(2a－1)＜&对一切正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析　当n为奇数时，原不等式即为(2a－1)＜&，又对一切正整数n恒成立，所以2a &&&&&－1＜32⇒a＜54，当n为偶数时，原不等式即为－(2a－1)＜&，即2a－1＞－&又对一切正整数n恒成立，所以2a－1＞－&，从而a＞－58，所以a的取值范围是－58，54. 答案　－58，54 例13&．已知x∈(0，π)，则函数f(x)＝1＋cos&x＋8sin2&x2sin&x的最小值为________． 解析　f(x)＝1＋cos&x＋8sin2&x2sin&x＝2cos2&x2＋8sin2&x22sin&x2cos&x2＝cos&x2sin&x2＋4sin&x2cos&x2≥2cos&x2sin&x2•4sin&x2cos&x2 ＝4，当且仅当cos&x2sin&x2＝4sin&x2cos&x2，即tan&x2＝12时取“＝”，因为0＜x2＜π2，所以存在x使tan&x2＝12，这时f(x)min＝4. 答案　4 例14&．已知实数x，t，满足8x＋9t＝s，且x＞－s，则x2＋s＋tx＋st＋1x＋t的最小值为________． 解析　设x＋t＝m，则x2＋s＋tx＋st＋1x＋t ＝x2＋8x＋10tx＋8x＋9tt＋1x＋t＝9x＋t&#x＋t ＝9m2＋1m＝9m＋1m.因x＞－s，即x＞－(8x＋9t)，所以x＋t＞0，即m＞0，所以9m＋1m≥6，当且仅当m＝13，即x＋t＝13时等号成立．故所求最小值为6. 答案　6 例15．已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＜0，则关于x &&&&的不等式f(mx2)－2f(x)＞f(m2x)－2f(m)(0＜m＜2)的解集为________． 解析　由题意，得f(x)是奇函数且在R上为增函数，所以由f(mx2)＋f(2m)＞f(m2x)＋f(2x)， &&得f(mx2＋2m)＞f(m2x＋2x)，即mx2＋2m＞m2x＋2x，也即&(x－m)&0. &&又0＜m＜2，所以x＜m，或x＞2m. 答案　& 例16．若实数a，b，c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，则c的最大值为________． 解析　∵2a＋b＝2a＋2b≥22a•2b＝22a＋b(当且仅当a＝b时取等号)， ∴(2a＋b)2－4×2a＋b≥0，∴2a＋b≥4或2a＋b≤0(舍)． &&&又∵2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，∴2a＋b＋2c＝2a＋b•2c， &&&&∴2c＝2a＋b2a＋b－1(2a＋b≥4)． &&&&又∵函数f(x)＝xx－1＝1＋1x－1(x≥4)单调递减， &&&&∴2c≤44－1＝43，∴c≤log243＝2－log23. 答案　2－log23 二、解答题 例17．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热屋建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系式：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 解　(1)设隔热层厚度为x&cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5， 再由C(0)＝8得k＝40，因此C(x)＝403x＋5.而建造费用C1(x)＝6x. &&&&故f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)． &&&&(2)由f(x)＝2&≥2(2400－5)＝70，当且仅当4003x＋5＝3x＋5， &&&&即x＝5时等号成立，得f(x)min＝70. &&&&当隔热层修建为5&cm厚时，总费用达到最小值70万元． 例18．设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l. (1)求a、b的值，并写出切线l的方程； (2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1&x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)&m(x－1)恒成立，求实数m的取值范围． 解　(1)f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3. 由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线， 故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1， 由此得8＋8a＋2b＋a＝0，12＋8a＋b＝1，　解得a＝－2，b＝5. 所以切线l的方程为x－y－2＝0. (2)由(1)得f(x)＝x3－4x2＋5x－2， 所以f(x)＋g(x)＝x3－3x2＋2x. 依题意，方程x(x2－3x＋2－m)＝0有三个互不相同的实根0、x1、x2，故x1、x2是方程 x2－3x＋2－m＝0的两相异的实根，所以Δ＝9－4(2－m)&0，即m&－14. 又对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)&m(x－1)恒成立， 特别地，取x＝x1时，f(x1)＋g(x1)－mx1&－m恒成立，得m&0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝3&0，x1x2＝2－m&0.故0&x1&x2. 对任意的x∈[x1，x2]，有x－x2≤0，x－x1≥0，x&0， 所以f(x)＋g(x)－mx＝x(x－x1)(x－x2)≤0. 又f(x1)＋g(x1)－mx1＝0， 所以函数f(x)＋g(x)－mx在x∈[x1，x2]上的最大值为0. 于是当m&0时，对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)&m(x－1)恒成立． 综上所述，m的取值范围是－14，0. 例19．已知函数f(x)＝sin&x＋cos&x和g(x)＝2sin&x•cos&x. &&&&(1)若a为实数，试求函数F(x)＝f(x)＋ag(x)，x∈[0，π2]的最小值h(a)； &&&&(2)若对任意x∈[0，π2]，使|af(x)－g(x)－3|≥12恒成立，求实数a的取值范围． 解　(1)F(x)＝f(x)＋ag(x)＝sin&x＋cos&x＋2asin&xcos&x. &&&&设t＝sin&x＋cos&x，则2sin&xcos&x＝t2－1，所以φ(t)＝t＋a(t2－1)＝at2＋t－a， &&&&由x∈[0，π2]，得t∈[1，2]． &&&&若a＝0，则h(a)＝φ(1)＝1；若a＞0，则φ(t)＝at＋12a2－a－14a，因为t＝－12a＜0， &&&&所以φ(t)在[1，2]上单调递增，所以h(a)＝φ(1)＝1； &&&&若a＜0，则当－12a≤1＋22，即a≤1－2时，h(a)＝φ(2)＝a＋2；当－12a＞1＋22， &&&&即1－2＜a＜0时，h(a)＝φ(1)＝1. &&&&综上所述，h(a)＝1，　a＞1－2，a＋2，a≤1－2， &&&&(2)由|af(x)－g(x)－3|≥12，得|a(sin&x＋cos&x)－2sin&xcos&x－3|≥12. &&&&设t＝sin&x＋cos&x，则2sin&xcos&x＝t2－1，且由x∈0，π2，得t∈[1，2]． &&&&所以|at－t2－2|≥12恒成立，即t2－at＋2≤－12或t2－at＋2≥12恒成立． &&&&由t2－at＋2≤－12，得a≥t＋52t，因为t∈[1，2]，且t＋52t在[1，2]上递减， &&&&所以t＋52t≤72，所以a≥72.由t2－at＋2≥12，得a≤t＋32t.因为t∈[1，2]， &&&&所以t＋32t≥2t•32t＝6，当且仅当t＝32t，即t＝62时等号成立，所以a≤6. &&&&综上所述a≤6或a≥72. 例20．某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4&m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β. &&&&(1)该小组已测得一组α，β的值，算出了tan&α＝1.24，tan&β＝1.20，&& 请据此算出H的值． (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的 距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若 电视塔的实际高度为125&m，试问d为多少时，α―β最大？ 解　(1)由AB＝Htan&α，BD＝htan&β，AD＝Htan&β及AB＋BD＝AD，得Htan&α＋htanβ＝Htan&β， 解得H＝htan&αtan&α－tan&β＝4×1.241.24－1.20＝124. 因此，算出的电视塔的高度H是124&m. (2)由题设知d＝AB，得tan&α＝Hd. 由AB＝AD－BD＝Htan&β－htan&β，得tan&β＝H－hd，所以tan(α－β) ＝tan&α－tan&β1＋tan&αtan&β ＝hd＋HH－hd≤h2HH－h. 当且仅当d＝HH－hd，即d＝HH－h ＝125×&#－4＝555时，上式取等号，所以当d＝555时tan(α－β)最大． 因为0＜β＜α＜π2，则0＜α－β＜π2，所以当d＝555时，α－β最大． 故所求的d是555&m.
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